Mathematik HTL 2, Schulbuch

37 1.5 Komplexe Zahlen Ich lerne mit komplexen Zahlen zu rechnen. Ich lerne die Lösung(en) für jede quadratische Gleichung zu berechnen und in der Zahlenebene darzustellen. Was sind komplexe Zahlen und wie rechnet man damit? Genau dann, wenn für zwei reelle Zahlen p und q gilt: 2 p _ 2 3 2 – q º 0, dann hat die quadratische Gleichung x 2 + px + q = 0 reelle Zahlen als Lösungen. In diesem Fall kann die quadratische Funktion f mit f(x) = x 2 + px + q als Produkt von zwei linearen Funktionen geschrieben werden. Beispiele:  Für die quadratische Gleichung x 2 – 3x + 2 = 0 ist 2 ‒ 3 _ 2 3 2 – 2 = 1 _ 4 º 0, also können wir ihre Lösungen, 1 und 2, berechnen. Daher kann f mit f(x) = x 2 – 3x + 2 als f(x) = (x – 1)(x – 2) geschrieben werden.  Für die quadratische Gleichung x 2 – 3x + 3 = 0 ist jedoch 2 ‒ 3 _ 2 3 2 – 3 = ‒ 3 _ 4 < 0, also hat diese Gleichung keine reelle Zahl als Lösung und f mit f(x) = x 2 – 3x + 3 kann nicht als Produkt von zwei linearen Funktionen (von R nach R ) geschrieben werden. Was also, wenn 2 p _ 2 3 2 – q < 0 ist? Wir möchten auch in diesem Fall Lösungen der quadratischen Funktion f mit f(x) = x 2 + px + q finden, aber wir wissen zugleich, dass diese Lösungen keine reellen Zahlen sein können. Erinnerst du dich, als du nur die natürlichen Zahlen kanntest, und dann von 3 die Zahl 5 subtrahieren wolltest oder 2 durch 3 dividieren wolltest? Oder, nachdem du die rationalen Zahlen kanntest, du die Wurzel aus 2 berechnen wolltest? Wir sind nun wieder in der gleichen Situation: Das, was wir bisher unter „Zahl“ verstehen, reicht nicht aus, um zum Beispiel die Gleichung x 2 + 1 = 0 zu lösen (also eine „Wurzel aus ‒1“ zu berechnen). Wir müssen also unseren „Zahlbegriff“ erweitern. Wir betrachten dazu eine geeignete Menge, welche die Menge der reellen Zahlen enthält, erweitern auf diese Menge die Rechenoperationen Addition und Multiplikation so,  dass die gleichen Rechenregeln wie für reelle Zahlen gelten (insbesondere soll man durch jede „neue Zahl“, die nicht 0 ist, dividieren können) und  dass es in dieser Menge von neuen Zahlen eine Zahl gibt, deren Quadrat ‒1 ist. Die Elemente dieser neuen Menge nennen wir dann komplexe Zahlen . Wie könnten wir diese neue Menge wählen? Um die reellen Zahlen einzuführen, haben wir eine Gerade verwendet, versuchen wir es jetzt mit einer Ebene! Nach Wahl eines Koordinatensystems können wir jeden Punkt als Zahlenpaar und die Ebene daher als die Menge R 2 aller Zahlenpaare auffassen. Wir betrachten auf R 2 die komponentenweise Addition und Subtraktion von Zahlenpaaren, die wir schon kennen. Die Gerade {c·(1, 0) ‡ c * R} fassen wir als Zahlengerade, also als Menge der reellen Zahlen auf. Wir schreiben daher meist a statt (a, 0) und fassen so R als Teilmenge von R 2 auf. Für alle reellen Zahlen soll das Produkt von (a, 0) mit (b, 0) daher (a·b, 0) sein. komplexe Zahlen Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv