Mathematik HTL 2, Schulbuch

35 1.4 Modellieren mit quadratischen Funktionen 153 Für einen Wolframdraht einer Glühbirne ist R 20 = 0,15 Ω , α = 4,11·10 ‒3 und β = 9,62·10 ‒7 . Berechne: a. Wie groß ist der Widerstand bei 1 500 °C? b. Wie groß ist der Widerstand bei 2000 °C? c. Bei welcher Temperatur beträgt der Widerstand das 10-Fache von R 20 ? 154 Ein zylindrisches Glas rotiert um seine Achse. Die im Glas befindliche Flüssigkeit wird dabei durch die entstehenden Kräfte an den Rändern des Glases hochgedrückt. a. Fertige eine Skizze an, die die Situation im Achsenschnitt darstellt. b. Beschreibe den Verlauf der Oberflächenkurve durch eine quadratische Funktion, wenn das Glas einen Durchmesser von 7cm hat und die Flüssigkeit 6cm über den tiefsten Punkt hochsteigt. 155 Die Energie W eines Kondensators mit Kapazität C und der Spannung U ist W = 1 _ 2 ·C·U 2 . a. Ein Blitzgerät einer Kompaktkamera benötigt eine Blitzenergie von 15 Joule. Welche Kapazität muss der Ladekondensator besitzen, wenn der Ladekondensator auf 300V geladen wird? b. Auf welche Spannung muss der Kondensator geladen werden, wenn die Blitzenergie 14 J und die Kapazität 470 μ F beträgt? 156 Ein Kondensator mit einer Kapazität von 150 μ F wird bis zu seiner maximalen Spannung von 300V geladen. Stelle die im Kondensator gespeicherte Energie mit wachsender Spannung in einem Diagramm dar. 157 Ein Körper, der aus der Höhe h 0 Meter im freien Fall fällt, befindet sich nach t Sekunden noch in h(t) = h 0 – 1 _ 2 g·t 2 Metern Höhe. Dabei ist g die Erdbeschleunigung (g ≈ 9,81m/s 2 ). Jemand lässt von der Aussichtsplattform des Stratosphere Tower in Las Vegas (Höhe 270m über dem Boden) einen Apfel fallen. a. Zeichne einen Graphen der Funktion h, die jeder positiven Zahl t die Höhe h(t) des Apfels nach t Sekunden freien Falls zuordnet. b. Wie lange braucht der Apfel, um am Boden aufzuschlagen? c. Wie lange braucht der Apfel für die erste Hälfte der Strecke, wie lange für die zweite? 158 Wenn ein Körper mit der Masse m in einem Abstand r von der Drehachse um diese mit der Winkelgeschwindigkeit ω rotiert, tritt die Zentrifugalkraft F z = m·r· ω 2 auf. a. Berechne die Zentrifugalkraft F z für einen Körper mit der Masse 80 kg, dem Abstand von 5m und der Winkelgeschwindigkeit 1 rad/s. b. Skizziere den Graphen der Funktion von R + nach R , die jeder nicht negativen Zahl w die Zentrifugalkraft in N für einen Körper mit der Masse 80 kg, dem Abstand 5m von der Dreh- achse und der Winkelgeschwindigkeit wrad/s zuordnet. c. Berechne die Winkelgeschwindigkeit, bei der die Zentrifugalkraft für den Körper und den Abstand aus Aufgabe a. 1 600N beträgt. 159 Ein Betrieb stellt ein Produkt her und hat monatliche Fixkosten von 90000€. Bei der Produktion von 50 Tonnen betragen die Gesamtkosten 1 240000€, bei der Produktion von 100 Tonnen betragen sie 3890000€. Die Kostenfunktion K ordnet jeder Zahl z die Gesamtkosten (in Euro) für die Produktion von z Tonnen des Produktes zu. a. Nimm an, dass die Kostenfunktion dieses Betriebes quadratisch ist und berechne sie. b. Der Verkaufspreis beträgt 32000€ pro Tonne. Die Gewinnfunktion G beschreibt den Gewinn, den der Betrieb bei Produktion (und Verkauf) von z Tonnen des Produktes macht, also G(z) = 32000z – K(z). Stelle den Graphen von G in einem geeigneten Koordinatensystem dar. c. Wie viele Tonnen muss der Betrieb produzieren, um den maximalen Gewinn zu erzielen und wie hoch ist dieser? B A B A A, C B A, C ggb f4565f Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv