Mathematik HTL 2, Schulbuch

33 1.4 Modellieren mit quadratischen Funktionen 141 Ein Seil ist zwischen zwei 15m entfernten Masten gespannt. Die beiden Mastspitzen haben einen Höhenunterschied von 5m und das Seil hängt in der Mitte 2m durch. Wir nehmen an, dass das durchhängende Seil annähernd Parabelform hat. a. Wähle ein geeignetes Koordinatensystem in der Ebene und zeichne das durchhängende Seil ein. Berechne dann die quadratische Funktion, die das Seil annähernd beschreibt. b. Wie groß ist der Durchhang in 3m Entfernung vom niedrigeren Mast? Berechne. 142 Ein Holzbrett verformt sich unter einer bestimmten Belastung wie eine Parabel. Für ein bestimmtes Holzbrett beträgt die Durchbiegung an der Stelle 2,1m vom linken Auflager 2 cm und an der Stelle 13m vom linken Auflager 1,2 cm. a. Ermittle, wie weit die beiden Auflager voneinander entfernt sind. b. Wie groß ist die maximale Durchbiegung? Berechne. c. Wo beträgt die Durchbiegung 3 cm? Berechne. 143 Eine Brücke hat Parabelform. Sie überspannt ein Tal mit 75m Breite. Der höchste Punkt liegt 10m über den Auflagerpunkten der Brücke. a. Fertige eine Skizze an und lege ein Koordinatensystem fest. b. Finde die Funktion, die den Verlauf der Brücke beschreibt. c. Wie hoch ist die Brücke 10 m vom Auflager entfernt? Berechne. 144 Wird ein Ball mit einer Abwurfgeschwindigkeit v 0 in m/s unter einem Winkel von α schräg nach oben geworfen, so wird (unter Vernachlässigung des Luftwiderstandes) die Flugbahn des Balls durch die Funktion p mit p(x) = tan( α )·x – g· x 2 _ 2·v 0 2 ·cos( α ) 2 beschrieben. Dabei ist g die Erdbeschleu- nigung (g ≈ 9,81m/s 2 ), x steht für den horizontalen Abstand zum Ausgangspunkt und p(x) gibt die entsprechende Höhe an. a. Berechne für einen Winkel von 35° und einer Abwurfgeschwindigkeit von 54 km/h, wie weit ein Ball geworfen wird. b. Fliegt der Ball bei gleicher Geschwindigkeit aber einem um 5° kleineren Abwurfwinkel weiter? c. Mit welcher Geschwindigkeit muss ein Torwart den Ball wegwerfen, um von einem Handball- tor ins andere zu treffen (die Tore stehen 40m voneinander entfernt), wenn er einen Abwurf- winkel von 45° hat? Berechne. 145 Verwende ein CAS, um die Aufgabe zu lösen. Ein mathematisches Pendel ist das grundlegende Modell, um die Pendelbewegung zu verstehen. Dabei ist ein Körper mit der Masse m an einem möglichst dünnen Faden aufgehängt, sodass die Masse des Pendels in einem einzigen Punkt konzentriert angenommen werden kann. Stößt man nun das Pendel leicht an, so bezeichnet man die Zeit, die das Pendel benötigt, um vom höchsten Punkt einer Seite wieder genau dorthin zu gelangen, als Schwingungsdauer T. Mit ® bezeichnen wir die Länge des Fadens. Es ist ® = T 2 ·g _ 4· π 2 . a. Berechne für T = 0, 1, 2, …, 10 die Länge des Pendels. b. Zeichne den Graphen der Funktion von R + nach R , die jeder nicht negativen Zahl T die Länge (in Meter) eines Pendels mit Schwingungsdauer T Sekunden zuordnet. c. Wie lang ist das Pendel, wenn die Schwingungsdauer eine Minute beträgt? d. Ermittle die Schwingungsdauer, wenn das Pendel 10m lang ist. 146 Eine Hängebrücke sieht wie der Graph einer quadratischen Funktion aus . Sie verbindet zwei gleich hohe Punkte, die 120m voneinander entfernt sind. In der Mitte zwischen den beiden Punkten hängt die Brücke 5m durch. a. Stelle den Verlauf der Hängebrücke mithilfe einer quadratischen Funktion dar. b. Gib an, wie weit die Brücke 10, 20, 30, 40 und 50m vom Anfangspunkt entfernt durchhängt. A, B A, B A, B A, B B ggb x282qi A, B ggb 7q6w38 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv