Mathematik HTL 2, Schulbuch

30 Quadratische Funktionen Die Aufgabe, eine quadratische Funktion zu finden, die an drei verschiedenen Stellen z 1 , z 2 , z 3 bestimmte vorgegebene Funktionswerte hat, nennt man Interpolation durch eine quadratische Funktion mit Stützstellen z 1 , z 2 , z 3 . Tipp Wir müssen dann die Koeffizienten a, b und c der quadratischen Funktion f mit f(x) = ax 2 + bx + c aus dem, was wir über die Funktion f wissen, bestimmen. Wenn wir die Funktionswerte von f zu drei Argumenten z 1 , z 2 , z 3 kennen, dann können wir a, b und c durch Lösen des Systems linearer Gleichungen mit drei Unbekannten a, b, c berechnen: I) z 1 2 a + z 1 b + c = f(z 1 ) II) z 2 2 a + z 2 b + c = f(z 2 ) III) z 3 2 a + z 3 b + c = f(z 3 ) Wir könnten aber auch anders vorgehen und zeigen das an einem Beispiel: Wir wählen für z 1 , z 2 , z 3 die Zahlen 1, 2, 3 und für f(z 1 ), f(z 2 ), f(z 3 ) die Zahlen 2, 4, ‒1, also f(1) = 2, f(2) = 4 und f(3) = ‒1. Wir suchen zunächst eine möglichst einfache Funktion, die an der Stelle 1 den Funktionswert 2 hat. Die einfachste Funktion mit dieser Eigenschaft ist die konstante Funktion 2. Um an der Stelle 2 den Funktionswert 4 zu erhalten, addieren wir zur konstanten Funktion 2 eine lineare Funktion, die an der Stelle 1 den Funktionswert 0 hat, und deren Summe mit der konstanten Funktion an der Stelle 2 den Funktionswert 4 hat. Eine lineare Funktion, die 1 als Nullstelle hat, ist f 1 mit f 1 (x) = r·(x – 1), wobei r eine reelle Zahl ist. Die Funktion f 1 + 2 muss an der Stelle 2 den Funktionswert 4 haben, also muss (f 1 + 2)(2) = r·(2 – 1) + 2 = 4 und r + 2 = 4 sein. Daher muss r = 2 sein. Die Funktion f 1 + 2 mit (f 1 + 2)(x) = 2·(x – 1) + 2 hat daher an den Stellen 1 und 2 die „richtigen“ Funktionswerte 2 und 4, aber noch nicht an der Stelle 3. Wir addieren wieder eine Funktion f 2 , deren Funktionswerte an den Stellen 1 und 2 gleich 0 sind. Diese Eigenschaft hat die Funktion f 2 mit f 2 (x) = s·(x – 1)(x – 2), wobei s eine reelle Zahl ist. Die Funktion f 2 + f 1 + 2 hat an den Stellen 2 und 4 die Funktionswerte 2 und 4 und soll an der Stelle 3 den Funktionswert ‒1 haben. Also muss (f 2 + f 1 + 2)(3) = s·(3 – 1)(3 – 2) + 2·(3 – 1) + 2 = ‒1 und 2s + 6 = ‒1 sein. Daher muss s = ‒ 7 _ 2 sein. Die gesuchte quadratische Funktion ist demnach f mit f(x) = ‒ 7 _ 2 (x – 1)(x – 2) + 2(x – 1) + 2 = ‒ 7 _ 2 x 2 + 25 _ 2 x – 7. Wir haben gesehen, dass diese Aufgabe immer eindeutig lösbar ist und zwei Verfahren kennen- gelernt, sie zu lösen. Zuerst durch Lösen eines Systems von drei linearen Gleichungen mit drei Unbekannten. Das zweite Verfahren heißt Newton-Verfahren zur Interpolation. Man kann Interpolation auch geometrisch interpretieren: Gegeben sind drei Punkte in einem Koordinatensystem der Ebene, deren erste Koordinaten paarweise verschieden sind. Gesucht ist eine quadratische Funktion, deren Graph alle drei Punkte enthält. ggb yh25ag Interpolation ggb 4ak5im Newton- Verfahren Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv