Mathematik HTL 2, Schulbuch

Lösungen zu „Was habe ich in diesem Abschnitt gelernt?“ 298 b. 10,062·sin( ω t + 4,290) [8(cos(‒1,75) + sin(‒1,75)j) – 3(cos(0,45) + sin(0,45)j) ≈ ‒4,127 – 9,177j. Der Betrag ist 9 ________ 4,127 2 + 9,177 2 ≈ 10,062. Wegen sin( φ ) ≈ ‒ 9,177 _ 10,062 < 0 ist φ > π , daher ist der Winkel φ = 2 π – cos ‒1 2 ‒4,127 _ 10,062 3 ≈ 4,290 5 . 1053.a. ca. 9,1·sin( ω t + 0) [ α = 0,52· 180° _ π ≈ 29,8°, β = ‒0,35· 180° _ π ≈ ‒20,1°. Die Längen der Zeiger sind 4 bzw. 6.] b. ca. 3,3·sin( ω t + 4,2) [ φ ≈ 242° ist im Bogenmaß 242°· π _ 180° ≈ 4,2] 1054. Z = 100 ω 2 __ ω 2 + 25·10 4 + 2 5·10 4 · ω __ ω 2 + 25·10 4 3 j [Für den komplexen Wechselstromwiderstand Z dieser Schaltung gilt 1 _ Z = 1 _ R + 1 _ j ω L , dabei ist R = 100 Ω und L = 0,2H. Daher ist 1 _ Z = 1 _ 100 – 2 1 _ 0,2 ω 3 j = 1 _ 100 – 2 5 _ ω 3 j und Z = 1 _ 100 + 2 5 _ ω 3 j/ 2 1 _ 100 2 + 25 _ ω 2 3 . Umformen ergibt Z = 100 ω 2 _ ω 2 + 25·10 4 + 2 5·10 4 · ω _ ω 2 + 25·10 4 3 j.] 1055. 1 + ω 2 _ 3 ·e π j = ‒ 1 + ω 2 _ 3 [Die Amplitude des Eingangssignals ist 3, die Amplitude des Aus- gangssignals ist 1 + ω 2 und die Phasendifferenz ist 3 π _ 2 – π _ 2 = π . Daher ist der Frequenzgang die Funktion von R + nach C , die jeder Kreis- frequenz ω die komplexe Zahl 1 + ω 2 _ 3 ·e π j = ‒ 1 + ω 2 _ 3 zuordnet. Seine Ortskurve ist die Menge { ‒ 1 + ω 2 _ 3 † ω * R + } , also die Menge aller negativen reellen Zahlen, die kleiner als ‒ 1 _ 3 sind.] 1056. 4 + 6j [Wir berechnen zuerst (1 – 2j)(1 + j) + (2 + 3j) = 5 + 2j und dann f(1 + j) = (5 + 2j)(1 + j) + (1 – j) = 4 + 6j.] 1057. 7 Matrizenrechnung 7.1 Wiederholung 1099. 2 2 1 0 3 2 3 0 4 3 3 7.2 Rechnen mit Matrizen 1138. a. 2 ‒0,4 12,4 ‒11,6 2,4 9 _ 14 20,96 3 1139. a. Ja, das Produkt kann gebildet werden, da A drei Spalten und B drei Zeilen hat. A·B = 2 4 4 3 2 ‒5 2 4 1 4 3 b. Das Produkt kann nicht gebildet werden, weil A vier Spalten aber B drei Zeilen hat. 1140. a. 2 500 300 250 360 295 15 200 3 Das Ergebnis ist eine Zutatenliste für die Tortenkreation 2 (500g Butter, 300g Stärkemehl…). b. 2 425 62,5 462,5 340 465 22 400 500 300 250 360 295 15 200 375 212,5 287,5 265 375,5 16 200 460 175 350 350 367,5 18,1 300 3 Die Einträge sind jeweils die Gesamtmassen je Zutat, die für die Torten 1 – 4 gebraucht werden. 1141. Die Auftragsspalte ist A = 2 4 8 2 10 3 . a. Die Anzahl der Einheiten der Grundmassen errechnet sich aus dem Produkt T·A. b. Die Menge der Zutaten errechnet sich aus dem Produkt (M·T)·A. 7.3 Systeme linearer Gleichungen in Matrizenform 1153. a. 13 [3·5 – 1·2 = 13] b. ‒14 c. 0 1154. a. Die Matrix ist invertierbar, da ihre Determinante ‒5 ≠ 0 ist. Inverse Matrix: 2 7 _ 5 ‒ 2 _ 5 ‒ 8 _ 5 3 _ 5 3 b. Die Matrix besitzt keine inverse Matrix, da ihre Determinante 0 ist. Im Re 0 10 j r = 9,108 õ = - 0,0077 z 1 z 2 z Im Re 0 j r = 6,69 ó = -1,359 z 1 z z 2 Im Re 0 1 j -1 - 2 - 3 - 4 ċ = 0 ċ = 1 ċ = 2 ċ = 3 x y 0 1 -1 1 -2 -3 2 4 5 6 3 Ă 2 3 Ă 2 Ă 2 Ă |f| x y 0 1 -1 1 -2 -3 2 4 5 6 3 Ă 2 3 Ă 2 Ă 2 Ă Re(f) x y 0 1 -1 1 -2 -3 2 4 5 6 3 Ă 2 3 Ă 2 Ă 2 Ă Im(f) Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv