Mathematik HTL 2, Schulbuch

Lösungen zu „Was habe ich in diesem Abschnitt gelernt?“ 297 939. [Die Längen b, c, f und g sind gleich. Wir erhalten den Winkel zwischen den Seiten b und c indem wir 180° – 2·63,43° = 53,14° berechnen. Jetzt können wir c mithilfe des Sinussatzes berechnen. Im rechtwinkeligen Dreieck mit den Katheten s = 2 und h = 3 erhal- ten wir für die Hypotenuse j = 9 ____ s 2 + h 2 ≈ 3,61. Die Seite k ist ebenso lange. Den Tangens des Winkels zwischen s und j erhalten wir als h _ s . Mit diesem Winkel und den Seiten c und j können wir mithilfe des Cosinussatzes die Seite d berechnen. Die Seite e ist genauso lange.] 940. _ À F R = 615N und α r = 23,31° [Die beiden Kräfte _ À F 1 und _ À F 2 können als die Seiten eines Parallelogramms aufgefasst werden. Die Resultie- rende ist die Diagonale, die im gemeinsamen Angriffspunkt von _ À F 1 und _ À F 2 beginnt. Der Betrag der Resultierenden ergibt sich demnach aus dem Cosinussatz: † _ À F r † 2 = † _ À F 1 † 2 + † _ À F 2 † 2 – 2 † _ À F 1 † · † _ À F 2 † ·cos(180° – α ). Den Winkel φ zwischen _ À F 1 und _ À F r berechnet man zum Beispiel mithilfe des Cosinussatzes: cos( φ ) = † _ À F R † 2 + † _ À F 1 † 2 – † _ À F 2 † 2 ___ 2 † _ À F R † · † _ À F 1 † ] 941. 820m [ Mit den Bezeichnungen aus der Skizze können wir zunächst γ berechnen: γ = 180° – α – (180° – β ) = β – α = 15,80°. Jetzt berechnen wir zum Bei- spiel die Länge der Seite BS mithilfe des Sinussatzes: BS = AB _ sin( γ ) ·sin( α ) ≈ 640,45m. Da das Dreieck BHS in H einen rechten Winkel hat, erhalten wir die Länge der Kathete HS aus HS = BS·sin( β ) = 500,10m. Da die Messung in einer Seehöhe von 320m stattfindet, ist die Höhe des Berges 500,10 + 320 = 820,10 ≈ 820m.] 6.2 Die Sinus-, Cosinus- und Tangensfunktion 998. a. c. b. 999. a. c. b. 1000.a. x ¦ ‒sin(x) b. x ¦ 3cos(x) c. x ¦ ‒tan(x) d. x ¦ ‒sin(2x) e. x ¦ 2cos(2x) f. x ¦ tan 2 x _ 2 3 1001. a. 9 __ 9,81 _ 8 ≈ 1,107s ‒1 [T = 2 π · 9 __ 8 _ 9,81 , w = 2 π _ T = 2 π _ 2 π 9 __ 8 _ 9,81 = 9 __ 9,81 _ 8 ] b. A mit A(t) = 3 · sin 2 9 __ 9,81 _ 8 ·t + π _ 2 3 [Die Amplitude ist 3m und da die Auslenkung zum Zeitpunkt 0 maximal ist, während sin sein erstes Maximum bei π _ 2 hat, muss die Anfangsphase π _ 2 sein.] c. 1,34m [A(1) = 3 · sin 2 9 __ 9,81 _ 8 ·1 + π _ 2 3 ≈ 1,34] 6.3 Komplexe Zahlen (geometrische Interpretation) 1024. 13 · e 1,1760j [ † 5 + 12j † = 9 ____ 5 2 + 12 2 = 13. Die Zahl 5 + 12j liegt im ersten Quadranten, daher suchen wir einen Winkel α < π _ 2 mit tan( α ) = 12 _ 5 . α = tan ‒1 2 12 _ 5 3 ≈ 1,1760. Die Polardarstellung lautet daher 13 · e 1,1760j .] 1025. 0,6180 + 1,9021j [Realteil: 2·cos 2 2 π _ 5 3 ≈ 0,6180, Imaginärteil: 2·sin 2 2 π _ 5 3 ≈ 1,9021] 1026. 1027. ‒0,366 + 1,366j, ‒2,598 + 1,5j und ‒2,732 – 0,732j [Wir müssen die Eckpunkte mit der komplexen Zahl 1·e π _ 3 j multipli- zieren. Diese besitzt den Realteil 1·cos 2 π _ 3 3 = 0,5 und den Imaginär- teil 1·sin 2 π _ 3 3 = 9 _ 3 _ 2 ≈ 0,8660. Die neuen Punkte sind daher (1 + j)·(0,5 + 0,866j) = 0,5 + 0,866j + 0,5j – 0,866 = ‒0,366 + 1,366j, 3j·(0,5 + 0,866j) = ‒2,598 + 1,5j und (‒2 + 2j)·(0,5 + 0,866j) = ‒1 – 1,732j + 1j – 1,732 = ‒2,732 – 0,732j.] 6.4 Spezielle Anwendungen komplexer Zahlen 1052.a. 10,065·sin( ω t + 5,976) 4 Wir schreiben die beiden Schwingun- gen als 5 2 cos 2 π _ 8 3 + sin 2 π _ 8 3 j 3 + 7 2 cos 2 ‒ π _ 4 3 + sin 2 ‒ π _ 4 3 j 3 ≈ 9,569 – 3,036j. Der Betrag dieser komplexen Zahl ist 9 ________ 9,569 2 + 3,036 2 ≈ 10,039. Wegen sin( φ ) ≈ ‒ 3,036 _ 10,039 < 0 ist φ > π , daher ist φ = 2 π – cos ‒1 2 9,569 _ 10,039 3 ≈ 5,976 5 . a b c k g s d = 3,16m j = 3,61m f = 2,24m h e ó 300m ô 180° – ô ó h õ A B H C cos (45°) sin (45°) y x 45° 45° y x ó Ă 2 ó – Ă 2 ó – cos( ) sin( ó ) y x sin (180° – ó ) sin ( ó ) 180° – ó ó ó x y 1 0 -1 1 -2 2 Ă 2 3 Ă 2 Ă 2 Ă f g x y 1 0 -1 1 -2 2 Ă 2 3 Ă 2 Ă 2 Ă f g x y 1 0 -1 1 -2 2 Ă 2 3 Ă 2 Ă 2 Ă f g Re Im 0 - 4 - 3 - 2 -1 1 2 3 4 - 3j - 2j - j j 2j 3j + j4 5 3 5 3 – 2j 3,4 + 1,2j Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv