Mathematik HTL 2, Schulbuch

Lösungen zu „Was habe ich in diesem Abschnitt gelernt?“ 296 5.5 Das Vektorprodukt im R 3 811. (1 1 ‒2 1 1) [((1 1 1| 1) – (0 1 0 1 0))·((1 1 2 1 3) – (0 1 0 1 0)) = = (1 1 1| 1)·(1 1 2 1 3) = (1·3 – 1·2 1 ‒(1·3 – 1·1) 1 1·2 – 1·1) = (1 1 ‒2 1 1)] 812. a. (1 1 ‒2 1 1) b. (‒16 1 2 1 ‒13) c. (‒12 1 6 1 6) d. (‒11 1 7 1 ‒6) [(‒1 1 ‒5 1 ‒4)·(‒2 1 ‒4 1 ‒1) = = ((‒5)·(‒1) – (‒4)·(‒4) 1 ‒((‒1)·(‒1) – (‒4)·(‒2)) 1 (‒1)·(‒4) – (‒5)·(‒2))] 813. Fläche = 10,45; Umfang = 17,04 [Da ein Dreieck als halbes Paralle- logramm aufgefasst werden kann, entspricht der Flächeninhalt der Hälfte der Norm des Vektorprodukts (B – A) × (C – A). (B – A) × (C – A) = ((6 1 4 1 3) – (‒1 1 2 1 5)) × ((3 1 3 1 1) – (‒1 1 2 1 5)) = = (7 1 2 1 ‒2) × (4 1 1 1 ‒4) = (‒6 1 20 1 ‒1). Die Fläche ist daher 1 _ 2 . u (‒6 1 20 1 ‒1) u = 1 _ 2 · 9 __________ (‒6) 2 + 20 2 + (‒1) 2 ≈ 10,45. Umfang = u (A – B) u + u (B – C) u + u (C – A) u = = u (‒7 1 ‒2 1 2) u + u (3 1 1 1 2) u + u (4 1 1 1 ‒4) u = 9 __ 57 + 9 __ 14 + 9 __ 33 ≈ 17,04] 814. 2x + 11y + 3z = 25 [Den Normalvektor der Ebene erhält man z.B. aus dem Vektorprodukt ((4 1 1 1 2) – (0 1 2 1 1)) × ((1 1 1 1 4) – (0 1 2 1 1)) = = (4 1 ‒1 1 1) × (1 1 ‒1 1 3) = (‒2 1 ‒11 1 ‒3). Um die weitere Rechnung zu vereinfachen, multiplizieren wir mit (‒1) und erhalten den Normal- vektor (2 1 11 1 3). Die Gleichung der Ebene erhält man aus (2 1 11 1 3) × (x 1 y 1 z) = (2 1 11 1 3)·(4 1 1 1 2) 2x + 11y + 3z = 25. Anstelle von (4 1 1 1 2) hätte man auch die Punkte (0 1 2 1 1) oder (1 1 1 1 4) in die rechte Seite der Gleichung einsetzen können.] 815. (‒410 1 540 1 ‒160), Betrag: 696,63Nm [(P – D) × F = (2 1 3 1 5) × (100 1 70 1 ‒20) = (‒410 1 540 1 ‒160) = = u (‒410 1 540 1 ‒160) u = 9 ____ 485300 ≈ 696,63] 5.6 Parabel und Kreis 825. A , C [Die Leitlinie der Parabel f mit f(x) = a(x – s) 2 + t ist { (s 1 t) + 2 0 1 ‒ 1 _ 4a 3 + c(1 1 0) † c * R } . Mit a = 1 _ 4 , s = 2 und t = 1 ergibt das (2 1 1) + (0 1 ‒1) + c(1 1 0) = (2 1 0) + c(1 1 0). Diese Gerade ist die x-Achse (Gleichung y = 0), also ist auch Antwort C richtig.] 826. B , C [Am besten ermittelt man zu jeder der Parabeln A bis D die Gleichung der Leitlinie. Für die Parabel B ergibt sich {(1 1 1) + c·(1 1 0) ‡ c * R} . Da auch der Punkt (3 1 1) auf dieser Geraden liegt, kann man die Gleichung der Geraden auch als {(3 1 1) + c·(1 1 0) ‡ c * R} anschreiben. Für Parabel C erhalten wir die Leitlinie {(‒1 1 1) + c·(1 1 0) ‡ c * R} , welche ebenfalls mit {(3 1 1) + c·(1 1 0) ‡ c * R} identisch ist.] 827. a. M = (0 1 0), r = 9 _ 3 b. M = (3 1 ‒4), r = 9 _ 4 = 2 c. M = (2 1 ‒3), r = 2 d. M = (‒2 1 3), r = 5 [x 2 + 4x + y 2 – 6y + 8 = 20 | ‒8 x 2 + 4x + y 2 – 6y = 12. Wir ergänzen auf der linken Seite x 2 + 4x zu x 2 + 4x + 4 = (x + 2) 2 und y 2 – 6y + 9 = (y – 3) 2 und addieren 4 und 9 auch zur rechten Seite: x 2 + 4x + 4 + y 2 – 6y + 9 = 25 (x + 2) 2 + (y – 3) 2 = 25. Also ist M = (‒2 1 3) und r = 9 __ 25 = 5.] 6 Trigonometrie 6.1 Dreiecke 934. a. Cosinussatz; zum Beispiel: r 2 = t 2 + s 2 – 2ts·cos(x) b. Cosinussatz; zum Beispiel: x 2 = t 2 + r 2 – 2tr·cos( α ) c. Sinussatz; zum Beispiel: r ___ sin(180° – α – β ) = x _ sin( α ) 935. a. Es gibt ein solches Dreieck; Cosinussatz (zur Berechnung des ersten Winkels) [Da die Summe zweier Seiten stets größer als die dritte Seite ist, ist dieses Dreieck konstruierbar.] b. Es gibt kein solches Dreieck. [Da zwei Seiten und der der kürze- ren Seite gegenüberliegende Winkel gegeben sind, kann es zwei, eine oder keine Lösung geben. Zur Berechnung von β wenden wir den Sinussatz an: sin( β ) = sin( α ) _ a · b ≈ 1,142. Da diese Zahl grö- ßer als 1 ist, existiert kein Winkel β mit diesem Sinus, daher gibt es auch kein Dreieck mit diesen Seitenlängen und diesem Winkel.] c. Es gibt ein solches Dreieck; Wir berechnen zunächst γ = 180° – α – β . Anschließend erhalten wir die übrigen Seiten mithilfe des Sinussatzes. [Kennt man zwei Winkel eines Drei- ecks, kennt man wegen der Winkelsumme von 180° auch den dritten. Da auch noch eine der Seitenlängen bekannt ist, ist das Dreieck eindeutig bestimmt.] d. Es gibt zwei solche Dreiecke; Sinussatz (zur Berechnung von β) . [Da zwei Seiten und der der kürzeren Seite gegenüberliegende Winkel gegeben sind, kann es zwei, eine oder keine Lösung geben. Zur Berechnung von β wendet man den Sinussatz an: sin( β ) = sin( α ) _ a · b ≈ 0,9139. Es gibt zwei Winkel β mit diesem Sinus: 66,05° und 180° – 66,05° = 113,95°. Daher gibt es auch zwei verschiedene Dreiecke mit den vorgegebenen Seitenlängen und dem vorgegebenen Winkel.] 936. a. α = 28,32°; β = 108,44°; γ = 43,25° [Wir berechnen zum Beispiel zunächst aus dem Cosinussatz mit cos( γ ) = a 2 + b 2 – c 2 _ 2ab den Winkel γ und dann die übrigen Winkel mithilfe des Cosinus- oder Sinus- satzes.] b. b = 38,62m; α = 70,43°; γ = 57,68° [Wir berechnen mithilfe des Cosinussatzes b 2 = a 2 + c 2 – 2ac·cos( β ) die Seite b. Den zweiten Winkel berechnen wir mithilfe des Sinus- oder Cosinussatzes, den dritten Winkel am schnellsten über die Winkelsumme im Dreieck von 180°.] c. c = 59,76m; α = 40,31; γ = 56,63° [ β liegt der längeren Seite b gegenüber, daher gibt es nur eine Lösung. Wir berechnen zuerst a mithilfe des Sinussatzes, danach den Winkel γ aus γ = 180° – α – β und schließlich mithilfe des Sinussatzes die Seite c.] d. b = 5,62m; c = 6,63m; γ = 90,18° [Wir berechnen zuerst b mithilfe des Sinussatzes, dann γ = 180° – α – β und schließlich mithilfe des Sinussatzes die Seite c.] 937. e = 82,62mm; f = 40,91mm; Fläche: 1430,55mm 2 [f 2 = 35 2 + 55 2 – 2·35·55·cos(48°), e 2 = 35 2 + 55 2 – 2·35·55·cos(180° – 48°), Fläche = 55·35·sin(48°)] 938. b = 31,72mm; e = 90,53mm; f = 77,04mm; Fläche: 2454,56mm 2 [Wir verschieben die Seite d parallel in den Punkt C. Wir erhalten ein Dreieck mit den bekannten Seitenlängen (a – c) und d, mit dem von ihnen eingeschlossenen Winkel α . Daraus können wir die Länge der dritten Seite b mithilfe des Cosinussatzes berechnen: b 2 = (a – c) 2 + d 2 – 2(a – c)d·cos( α ). Die Diagonale e erhält man aus e 2 = a 2 + b 2 – 2ab·cos( β ), die Diagonale f aus f 2 = a 2 + d 2 – 2ad·cos( α ).] Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv