Mathematik HTL 2, Schulbuch

Lösungen zu „Was habe ich in diesem Abschnitt gelernt?“ 295 b. Nach 10 Jahren sind es 29 Seeadler [Die ersten 10 Folgen- glieder lauten k 4; 5; 6,247; 7,800; 9,731; 12,128; 15,098; 18,767; 23,284; 28,821 l . 28,821 ≈ 29) c. nach ca. 40 Jahren 4.4 Zinseszinsrechnung 651. 4249,99€ [ 5116,87 _ 1,0475 4 = 4249,99] 652. nach 3 Jahren und 37 Tagen [Wir rechnen mit theoretischer Verzinsung: n = ln 2 3000 _ 2800 3 __ ln(1,0225) ≈ 3,1007 Jahre = 3 Jahre, 1 Monat, 7 Tage (aufgerundet)] 653. praktische Verzinsung: 18393,75€; theoretische Verzinsung: 18390,72€ [praktische Verzinsung: 18000· 2 1 + 0,0375· 7 _ 12 3 = 18393,75€; theoretische Verzinsung: 18000·1,0375 7 _ 12 = 18390,72€] 654. Vor Abzug der der KEST 73,87€, nach Abzug der KEST 55,40€. [ Datum Einzahlung/ Auszahlung Guthaben Tage bis zur nächsten Einzahlung bzw. bis zum Jahresende 24.2.2012 4.7.2012 3000,00 1500,00 3000,00 4500,00 6 + 4·30 + 4 = 130 26 + 5·30 = 176 vor Abzug der KEST: 3000·130 + 4500·176 ___ 360 ·0,0225 = 73,87€. Nach Abzug der KEST: 73,87·0,75 = 55,40€] 655. a. 4,59% 4 2 1 + 0,045 _ 12 3 12 = 1,0459 5 b. 4,58% 4 2 1 + 0,045 _ 4 3 4 = 1,0457 5 c. 4,55% 4 2 1 + 0,045 _ 2 3 2 = 1,0455 5 5 Skalarprodukt, Abstand und Winkel 5.1 Abstand zwischen Punkten in der Ebene und im Raum 702. a. 9 __ 85 [ u (2, 7) – (‒5, 1) u = 9 __________ (2 – (‒5)) 2 + (7 – 1) 2 ] b. 3 9 _ 6 [ 9 ________________ (4 – (‒1)) 2 + (‒2 – 3) 2 + (3 – 5) 2 = 9 __ 54 = 9 __ 9·6 = 3 9 _ 6] 703. Am kleinsten ist der Abstand zwischen (1 1 2 1 3 1 4 1 5) und (‒1 1 2 1 1 1 5 1 6), am größten zwischen (‒1 1 2 1 1 1 5 1 6) und (‒2 1 3 1 4 1 2 1 4). [Wir berechnen alle drei Abstände und vergleichen sie. Der Abstand zwischen (1 1 2 1 3 1 4 1 5) und (‒1 1 2 1 1 1 5 1 6) ist zum Beispiel 9 _________________________ (1 – (‒1)) 2 + (2 – 2) 2 + (3 – 1) 2 + (4 – 5) 2 + (5 – 6) 2 = 9 __ 10] 5.2 Rechter Winkel und Skalarprodukt 738. a. 26 b. 0 [(1,5 1 4)· 2 ‒2 1 3 _ 4 3 = 1,5·(‒2) + 4· 3 _ 4 = ‒3 + 3 = 0] c. 3 739. Nein, die Geraden stehen nicht normal aufeinander. [((4 1 ‒1) – (‒1 1 1))·((2 1 ‒2) – (3 1 2)) = (5 1 ‒2)·(‒1 1 ‒4) = ‒5 + 8 = 3 ≠ 0] 740. Ja, die Gerade und die Lösungsmenge des Gleichungssystems stehen normal aufeinander. [Die Lösungsmenge ist {(‒1 1 2 1 0) + c·(‒1 1 1 1 1)| c * R } und das Skalarprodukt ist (1 1 0 1 1)·(‒1 1 1 1 1) = 0.] 5.3 Rechenregeln für das Skalarprodukt 755. a. ‒t 2 + 8t ‒1 [(‒3 1 5)·(2 1 1) + t·(‒3 1 5)·(0 1 1) – t·(‒2 1 1)·(2 1 1) – – t 2 ·(‒2 1 1)·(0 1 1) = (‒6 + 5) + t·(0 + 5) – t·(‒4 + 1) – t 2 ·(0 +1) = = ‒1 + 5t + 3t – t 2 = ‒t 2 + 8t – 1] b. 16 + 11a – 7a 2 756. für a = ‒6 [((‒2 1 a) + (3 1 5))·(1 1 1) = 0 É (‒2 1 a)·(1 1 1) + + (3 1 5)·(1 1 1) = 0 É ‒2 + a + 3 + 5 = 0 É 6 + a = 0 É a = ‒6] 757. Wenn P – Q und P + Q aufeinander normal stehen, dann ist (P – Q)·(P + Q) = 0. Ausmultiplizieren ergibt P·P – Q·Q = 0, also u P u 2 – u Q u 2 = 0, also ist u P u 2 = u Q u 2 . Daraus folgt u P u = u Q u , weil die Norm eines Punktes stets größer oder gleich 0 ist. Hinweis: Für zwei Zahlen p, q mit p 2 = q 2 muss nicht unbedingt gelten, dass auch p = q ist. So ist zum Beispiel (‒3) 2 = (+3) 2 , aber (‒3) ≠ (+3). 5.4 Skalarprodukt und Winkel 789. (‒0,36 1 ‒0,72 1 1,07); Abstand: 5,22 [Fußpunkt des Lotes: (‒1, ‒2,3)·(3, 2,4) ___ (‒1, ‒2,3)·(‒1, ‒2,3) ·(‒1, ‒2,3) = 5 _ 14 ·(‒1, ‒2,3) = = 2 ‒ 5 _ 14 , ‒ 10 _ 14 , 15 _ 14 3 ≈ (‒0,36, ‒0,72, 1,07). Der Abstand ist u (3, 2, 4) – 2 ‒ 5 _ 14 , ‒ 10 _ 14 , 15 _ 14 3 u = u 2 47 _ 14 , 38 _ 14 , 41 _ 14 3 u = = 1 _ 14 u (47, 38, 41) u = 1 _ 14 9 ________ 47 2 + 38 2 + 41 2 = 1 _ 14 9 ___ 5334 ≈ 5,22] 790. (2 1 4 1 2); Abstand: ≈ 10,49 [Der Fußpunkt F liegt auf der Geraden, daher gibt es eine Zahl c so, dass F = (1 1 1 1 2) + c·(1 1 3 1 0) ist. Die Gerade durch (5 1 3 1 ‒8) und F steht normal auf die Gerade {(1 1 1 1 2) + c·(1 1 3 1 0) ‡ c * R }, daher muss gelten: (F – (5 1 3 1 ‒8))·(1 1 3 1 0) = 0 É ((1 1 1 1 2) + c·(1 1 3 1 0) – (5 1 3 1 ‒8))·(1 1 3 1 0) = 0 É ((‒4 1 ‒2 1 10) + c·(1 1 3 1 0))·(1 1 3 1 0) = 0 É (‒4 1 ‒2 1 10)·(1 1 3 1 0) + c·(1 1 3 1 0)·(1 1 3 1 0) = 0 É ‒10 + c·10 = 0 É c = 1 w F = (1 1 1 1 2) + 1·(1 1 3 1 0) = (2 1 4 1 2); Abstand: u (5 1 3 1 ‒8) – (2 1 4 1 2) u ] = u (3 1 ‒1 1 ‒10) u = 9 __ 110 ≈ 10,49] 791. 2 7 _ 3 1 ‒ 16 _ 3 1 10 _ 3 3 ; Abstand: 10,42 [P 1 – P 2 = (1 1 ‒1 1 1). Der Fußpunkt liegt auf der Geraden {P 1 + c·(P 1 – P 2 ) ‡ c * R } = {(‒1 1 ‒2 1 0) + c·(1 1 ‒1 1 1) ‡ c * R }. Es ist die folgende Gleichung zu lösen: ((‒1 1 ‒2 1 0) + c·(1 1 ‒1 1 1) – (5 1 3 1 9))·(1 1 ‒1 1 1) = 0. Diese hat die Lösung c = 10 _ 3 . also ist F = (‒1 1 ‒2 1 0) + 10 _ 3 ·(1 1 ‒1 1 1) = 2 7 _ 3 1 ‒ 16 _ 3 1 10 _ 3 3 ; Abstand: u (5 1 3 1 9) – 2 7 _ 3 1 ‒ 16 _ 3 1 10 _ 3 3 u = 1 _ 3 · 9 __ 978≈ 10,42] 792. Der Winkel ist kleiner als 90°. [Der Cosinus dieses Winkels ist (‒2 1 5)·(‒3 1 1) ___ u (‒2 1 5) u · u (‒3 1 1) u = 11 __ 9 __ 29· 9 __ 10 > 0, also ist der Winkel kleiner als 90°. Denn wäre der Winkel größer als 90°, so wäre sein Cosinus kleiner als 0. Bei 90° wäre er gleich 0.] 793. 0,1633 4 (‒5 1 ‒4 1 ‒3)·(1 1 1 1 ‒5) ____ u (‒5 1 ‒4 1 ‒3) u · u (1 1 1 1 ‒5) u = 6 __ 9 __ 50· 9 __ 27 ≈ 0,1633 5 794. Fläche: 8,5 [Da einer der Eckpunkte der Nullpunkt ist, können wir rechnen: 1 _ 2 · 9 ______________________ ((8 1 5)·(8 1 5))((3 1 4)·(3 1 4)) – ((8 1 5)·(3 1 4)) 2 = 1 _ 2 · 9 ________ (89·25) – (44) 2 = = 1 _ 2 · 9 __ 289 = 8,5] 795. Fläche: ca. 23,367 4 9 ______________________________ ((5 1 1 1 3)·(5 1 1 1 3))((2 1 3 1 5)·(2 1 3 1 5)) – ((5 1 1 1 3)·(2 1 3 1 5)) 2 = = 9 __ 546 ≈ 23,367 5 50 40 30 20 10 0 0 400 300 200 100 Jahre Anzahl Seeadler Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv