Mathematik HTL 2, Schulbuch

Lösungen zu „Was habe ich in diesem Abschnitt gelernt?“ 294 480. a. 0,3 [log(2x + 3) – log(3) = log(4x) |zusammenfassen log 2 2x + 3 _ 3 3 = log(4x) 2x + 3 _ 3 = 4x | ·3 2x + 3 = 12x | ‒2x 10x = 3 | : 10 x = 0,3] b. 5 4 Folgen, Differenzengleichungen und Zinseszinsrechnung 4.1 Folgen und Reihen 543. a. zum Beispiel: arithmetische Folge: a(n) = 8 + 4n, die nächsten drei Folgenglieder sind k …, 24, 28, 32, … l b. zum Beispiel: geometrische Folge: b(n) = 3 n , die nächsten drei Folgenglieder sind k …, 81, 243, 729,… l c. zum Beispiel: arithmetische Folge: c(n) = 205 – 5n, die nächsten drei Folgenglieder sind k …, 185, 180, 175, … l d. zum Beispiel: geometrische Folge: d(n) = 10·10 n = 10 n + 1 , die nächsten drei Folgenglieder sind k …, 10 5 , 10 6 , 10 7 , … l 544. a. k 7, 4, 1, ‒2, ‒5,… l [f(0) = 7; f(1) = f(0) – 3 = 7 ‒ 3 = 4; f(2) = f(1) – 3 = 4 – 3 = 1; …] b. k 0, 1, 8, 27, 64, … l [0 ¦ 0 3 = 0; 1 ¦ 1 3 = 1; 2 ¦ 2 3 = 8; …] c. k 625, 125, 25, 5, 1,… l [625· 2 1 _ 5 3 0 = 625; 625· 2 1 _ 5 3 1 = 125; 625· 2 1 _ 5 3 2 = 25; …] d. k ‒5, 2, 9, 16, 23,… l [7·0 – 5 = ‒5; 7·1 – 5 = 2; 7·2 – 5 = 9; …] 545. a. arithmetische Folge, denn die Differenz zweier aufeinander- folgender Glieder ist stets ‒8; a(n + 1) = a(n) – 8 b. arithmetische Folge, denn b(n + 1) = b(n) + 214 c. weder arithmetische noch geometrische Folge, denn weder die Differenz noch der Quotient zweier aufeinanderfolgender Glieder sind konstant d. geometrische Folge, denn der Quotient zweier aufeinander- folgender Glieder ist stets 1 _ 3 ; d(n + 1) = d(n)· 1 _ 3 e. weder arithmetische noch geometrische Folge, denn weder die Differenz noch der Quotient zweier aufeinanderfolgender Glieder sind konstant f. geometrische Folge, denn f(n + 1) = f(n)·2 546. a. arithmetische Folge mit a 0 = 615 und d = 2 b. geometrische Folge mit a 0 = 3 und q = 2 c. weder eine arithmetische noch eine geometrische Folge d. weder eine arithmetische noch eine geometrische Folge e. geometrische Folge mit a 0 = 1 und q = 1 _ 5 f. arithmetische Folge mit a 0 = ‒217 und d = 18 g. arithmetische Folge g 0 = 1 und d = 2 h. geometrische Folge mit h 0 = 2 und q = 5 i. weder eine arithmetische noch eine geometrische Folge 547. a. 5100m [Beachte, dass der Schüler jeweils hin und zurück laufen muss, daher ist die Gesamtstrecke in Meter: 4 + 8 + 12 + … + 200. Insgesamt sind es 50 Summanden, die eine arithmetische Folge bilden. 50·(4 + 200) __ 2 = 5100] b. 1300m [4 + 8 + 12 + … + 100 = 25·(4 + 100) __ 2 = 1300] c. 34 Stück [15 Minuten sind eine Viertelstunde. In dieser Zeit läuft der Schüler 1 _ 4 ·10 = 2,5km = 2500m. Wir müssen eine natürliche Zahl n mit 4 + 8 + 12 + … + 4n = 2500 finden. Wegen 4 + 8 + 12 + … + 4n = n·(4 + 4n) _ 2 muss gelten: n·(4 + 4n) _ 2 = 2500 |·2 4n 2 + 4n = 5000 | ‒5000 4n 2 + 4n – 5000 = 0 Diese Gleichung hat die Lösungen ‒35,859 und 34,859. Weil n eine natürliche Zahl sein soll, runden wir 34,859 auf 34 ab. Der Schüler kann also höchstens 34 Fahnen einsammeln.] 4.2 Modellieren von Wachstum durch lineare Differenzengleichungen erster Ordnung 573. a. k 3, 6, 12, 24, 48, … l [y n = 3·2 n ] b. k 100; 105; 110,25; 115,7625; 121,550625, … l [y n = 100·1,05 n ] c. k 4, 9, 14, 19, 24, … l [y n = 4 + 5n] d. k 1, 3, 7, 15, 31, … l [Die Lösung der Differenzengleichung y n + 1 = c·y n + d mit y 0 = a ist a·c n + d(c n – 1) _ c – 1 . In unserem Beispiel ist a = 1, c = 2 und d = 1, also gilt: y n = 1·2 n + 1·(2 n – 1) _ 2 – 1 = 2 n + (2 n – 1) = 2·2 n – 1 = 2 n + 1 – 1] 574. a. y 0 = 75000; y n + 1 = 1,04·y n b. k 75000, 78000, 81120, 84364,80, 87739,39, … l c. y n = 75000·1,04 n 575. a. y 0 = 3500; y t + 1 = y t + 800 b. k 3500, 4300, 5100, 5900, 6700, 7500, … l ; y t = 3500 + 800t c. y 0 = 3500; y t + 1 = y t + 800 – 550 = y t + 250 d. k 3500, 3750, 4000, 4250, 4500, 4750, … l ; y t = 3500 + 250t 4.3 Modellieren von Wachstum durch andere Differenzengleichungen 584. a. k 0 = 1, k 1 = 1, k n + 2 = k n + 1 + 2·k n [Startwert 0. Monat: 1 Paar. Im 1. Monat bekommt dieses Paar noch keine Nachkommen, daher gibt es weiterhin nur 1 Paar. Weiters gilt: In 2 Monaten haben alle k n Kaninchen, die bereits heute leben, 2 neue Paare auf die Welt gebracht. Also gibt es insgesamt 2·k n neue Paare. Hinzu kommen noch die Kaninchenpaare, die im vorangegange- nen Monat bereits gelebt haben. Das sind k n + 1 . Insgesamt gibt es also k n + 2 = k n + 1 + 2·k n .] b. Nach einem Jahr gibt es 2731 Kaninchen. [Die Folge lautet k 1, 1, 3, 5, 11, 21, 43, 85, 171, 341, 683, 1365, 2731, … l ] 585. xls r3r3h4 a. s 0 = 4s t + 1 = 1 _ 3,96 · 2 1 – s t _ 400 3 ·s t + s t [s 0 = 4, denn 2 Paare sind 4 Seeadler. s 1 = 4·1,25 = 5, denn die Anzahl ist um 25% größer geworden. Eine logistische Differenzengleichung hat die Gestalt y n + 1 = r· 2 1 – y n _ K 3 ·y n + y n . Für n = 0 und die Kapazität K = 400 ergibt das die Gleichung y 1 = r· 2 1 – y n _ K 3 ·y 0 + y 0 . bzw. 5 = r· 2 1 – 4 _ 400 3 ·4 + 4 | ‒4 1 = r·3,96 | : 3,96 r = 1 _ 3,96 Daher lautet die logistische Differenzengleichung s 0 = 4s t + 1 = 1 _ 3,96 · 2 1 – s t _ 400 3 ·s t + s t .] Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv