Mathematik HTL 2, Schulbuch

Lösungen zu „Was habe ich in diesem Abschnitt gelernt?“ 293 341. 3 [Wir bezeichnen die gesuchte Zahl mit x. Dann ist x – 9 ___ x + 1 = 1. Diese Gleichung hat die Lösung 3.] 342. R = 4 π 2 ·C·L·f 1 2 – 1 __ 2 π ·C·f 1 [ f 1 = R + 9 _____ R 2 + 4· L _ C __ 4 π ·L |·4 π L f 1 ·4 π ·L = R + 9 _____ R 2 + 4· L _ C | ‒R und quadrieren (f 1 ·4 π ·L – R) 2 = R 2 + 4· L _ C | zusammenfassen 8f 1 π LR = (4f 1 π L) 2 – 4L _ C | : 8f 1 pL und zusammenfassen R = 4 π 2 ·C·L·f 1 2 – 1 __ 2 π ·C·f 1 ] 3 Exponential- und Logarithmusfunktionen 3.1 Exponentialfunktionen 392. a. 11 2 – 2y [11 2 + y ·11 ‒3y = 11 2 + y – 3y = 11 2 – 2y ] b. a 6z – 3 [a 2z ·a 4z – 3 = a 2z + 4z – 3 = a 6z – 3 ] c. 9 ‒x – y 4 9 x _ 9 2x+ y = 9 x – 2x – y = 9 ‒x – y 5 d. 2 1 _ 2 3 ‒2m + 4 4 2 1 _ 2 3 m –5 / 2 1 _ 2 3 3m – 9 = 2 1 _ 2 3 m – 5 – (3m – 9) = 2 1 _ 2 3 ‒2m + 4 5 393. 394. a. B b. C c. A d. D 3.2 Logarithmen und Logarithmusfunktionen 427. a. 3log(a) + 5log(b) – 2log(a + b) [log 2 a 3 b 5 _ (a + b) 2 3 = log(a 3 b 5 ) – log((a + b) 2 ) = = log(a 3 ) + log(b 5 ) – 2log(a + b) = 3log(a) + 5log(b) – 2log(a + b)] b. log(3) + 1 _ 2 log(x) + 2,5log(y) c. 1 _ 3 log(x) + 1 _ 2 log(y) – 1 _ 4 log(x+y) 428. a. log 2 9 _ x _ 3 9 _ y 3 4 1 _ 2 log(x) – 1 _ 3 log(y) = log 2 x 1 _ 2 3 – log 2 y 1 _ 3 3 = log 2 9 _ x _ 3 9 _ y 3 5 b. log 2 (a + b) 2 ·c __ 9 a 3 c. log 2 x 3 y 4 _ 9 ___ x + y 3 429. a. 10 ‒1 m = 10cm b. 10 ‒4 m = 0,1mm c. Floh: 10 ‒3 m, Amöbe: 10 ‒4 m, daher in ist ein Floh 10-mal so groß wie eine Amöbe also 900% größer als eine Amöbe. 3.3 Beschreiben von Wachstum mithilfe von Exponentialfunktionen 466. a. U(0) = 0, U(5) = 4,88, U(10) = 8,77, U(15) = 11,86, U(20) = 14,33 und U(25) = 16,3V [R = 10k Ω = 10 4 Ω , C = 2,2 μ F = 2,2·10 ‒6 F, daher ist R·C = 2,2·10 ‒2 U c (t) = 2 24·1 – e ‒ t __ 2,2·10 –2 3 ] b. c. ca. 0,015s oder 1,5ms d. 0,0152 [Wir lösen die Gleichung U C (t) = 12, also 24· 2 1 – e ‒ t __ 2,2·10 –2 3 = 12 und erhalten als Lösung 0,0152.] 467. a. a ≈ 0,2490 [Nach 3 Stunden haben 60 Personen von dem Gerücht gehört, also ist p(3) = 60. 800 __ 1 + 799a 3 = 60 | ·(1 + 799a 3 ) 800 = 60 + 47940a 3 | – 60, | : 47940 740 _ 47940 = a 3 | 3 9 _ a = 3 9 ___ 740 _ 47940 ≈ 0,2490] b. ca. 450 Personen [p(5) = 800 __ 1 + 799·0,255 ≈ 449,37] c. ca. 5 Stunden und 36 Minuten [ 3 _ 4 von 800 sind 600. Es ist daher folgende Gleichung zu lösen: 800 __ 1 + 799·0,25t = 600 | ·(1 + 799·0,25 t ) 800 = 600 + 479400·0,25 t | ‒600, : 479400 200 _ 479400 = 0,25 t | ln ln 2 200 _ 479400 3 = t·ln(0,25) | ·ln(0,25) t = ln 2 200 _ 479400 3 __ ln(0,25) ≈ 5,6] 468. ca. 300 Jahre [Für die Halbwertszeit von 30 Jahren ergibt sich aus 0,5 = 1·a 30 , dass a = 0,977 ist und somit für Caesium das Zerfalls- gesetz C(t) = 0,977 t . Nun lösen wir die Gleichung 0,001 = C(t) und erhalten t = 296,87; also dauert es ca. 300 Jahre, bis nur noch 0,1% der freigesetzten Masse vorhanden ist.] 3.4 Exponential- und Logarithmusgleichungen 479. a. ‒9,64 [ 2 3x + 1 – 3 2x – 1 = 3 2x + 2 – 2 3x | Potenzen gleicher Basis auf eine Seite bringen 2 3x + 1 + 2 3x = 3 2x + 2 + 3 2x – 1 | herausheben 2 3x ·(2 + 1) = 3 2x – 1 ·(3 3 + 1) | zusammenfassen 2 3x ·3 = 3 2x – 1 ·28 | als Potenzen gleicher Basis schreiben e ln(2)·3x ·e ln(3) = e ln(3)·(2x – 1) ·e ln(28) | zusammenfassen e ln(2)·3x + ln(3) = e ln(3)·(2x – 1) + ln(28) | logarithmieren ln(2)·3x + ln(3) = ln(3)·2x – ln(3) + ln(28) | zusammenfassen und herausheben x·(3ln(2) – 2ln(3)) = ln(28) – 2ln(3) |: (3ln(2) – 2ln(3)) x = ln(28) – 2ln(3) __ 3ln(2) – 2ln(3) x = ‒9,64 ] b. ‒0,72 x 2 x ‒3 0,125 ‒2,5 0,177 ‒2 0,250 ‒1,5 0,354 ‒1 0,500 ‒0,5 0,707 0 1,000 0,5 1,414 1 2,000 1,5 2,828 2 4,000 2,5 5,657 3 8 x y 0 - 4 - 3 - 2 -1 1 2 3 4 -1 1 2 3 4 5 g j h f i t[s] U[V] 50 40 30 20 10 0 25 20 15 10 5 0 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv