Mathematik HTL 2, Schulbuch

Lösungen zu „Was habe ich in diesem Abschnitt gelernt?“ 292 1.5 Komplexe Zahlen 201. a. z 1 + z 2 = 2 13 _ 3 , ‒ 8 _ 3 3 4 2 1 _ 3 , 1 _ 3 3 + (4, ‒3) = 2 1 _ 3 + 4, 1 _ 3 – 3 3 = 2 13 _ 3 , ‒ 8 _ 3 3 5 ; z 1 – z 2 = 2 ‒ 11 _ 3 , 10 _ 3 3 4 2 1 _ 3 , 1 _ 3 3 – (4, ‒3) = 2 1 _ 3 – 4, 1 _ 3 + 3 3 = 2 ‒ 11 _ 3 , 10 _ 3 3 5 ; z 1 ·z 2 = 2 7 _ 3 , 1 _ 3 3 4 2 1 _ 3 , 1 _ 3 3 ·(4, ‒3) = 2 1 _ 3 ·4 – 1 _ 3 ·(‒3), 1 _ 3 ·(‒3) + 1 _ 3 ·4 3 = 2 7 _ 3 , 1 _ 3 3 5 ; z 1 _ z 2 = 2 1 _ 75 , 7 _ 75 3 4 2 1 _ 3 , 1 _ 3 3 /(4, ‒3) = 2 1 _ 3 , 1 _ 3 3 · 2 4, 3 _ 4 2 + 3 2 3 = = 1 _ 25 2 1 _ 3 ·4 – 1 _ 3 ·3, 1 _ 3 – 3 + 1 _ 3 ·4 3 = 1 _ 25 2 1 _ 3 , 7 _ 3 3 = 2 1 _ 75 , 7 _ 75 3 5 b. z 1 + z 2 = 6 +2j; z 1 – z 2 = 10 + 4j; z 1 ·z 2 = ‒13 – 14j; z 1 _ z 2 = ‒ 19 _ 5 + 2 _ 5 j 202. a. ‒4 + 3j und ‒4 – 3j [ 2 8 _ 2 3 2 – 25 < 0 w Die Lösungen der Gleichung sind ‒ 8 _ 2 + 9 ______ ‒ 2 8 _ 2 3 2 + 25j = ‒4 + 3j und ‒ 8 _ 2 – 9 ______ ‒ 2 8 _ 2 3 2 + 25j = ‒4 – 3j] b. ‒2 + 3j und ‒2 – 3j 2 Potenz- und Wurzelfunktionen 2.1 Potenzfunktionen 275. A , C , E , F [Potenzfunktionen haben die Form f(x) = x m , m * N ; A : (f·g)(x) = x ‒2 ; C : 2 f _ g 3 (x) = x 8 ; E : g 3 (x) = x ‒15 ; F : f ‒5 (x) = x ‒15 sind also Potenzfunktionen, aber B : (f + g)(x) = x 3 + x ‒5 und D : (f – g)(x) = x 3 – x ‒5 sind keine Potenzfunktionen.] 276. B , C , E , F 277. a. D b. F c. B d. C 278. a. konvex auf ganz R und streng monoton fallend auf (‒ • ; 0] b. konvex und streng monoton fallend auf ganz R c. konvex auf (‒ • ; 0], streng monoton fallend auf ganz R d. konvex auf (0; • ) und streng monoton fallend auf R \{0} 279. C , E 280. f(x) = x ‒3 f(x) = x 2 f(x) = x ‒1 f(x) = x 4 2.2 Umkehrfunktionen 290. a. g ‒1 : R ¥ R , a ¦ 2a + 2 [Wir formen die Gleichung a = 1 _ 2 z – 1 um: a = 1 _ 2 z – 1 | + 1 a + 1 = 1 _ 2 z |·2 2a + 2 = z Daher ist die Umkehrfunktion g mit g(a) = 2a + 2. Wir erhalten den Graphen von g ‒1 , indem wir den Graphen von g an der ersten Mediane spiegeln.] b. Die Funktion ist nicht umkehrbar, da alle Zahlen denselben Funk- tionswert haben. 291. B , D , E und F [ A ist nicht umkehrbar, da zum Beispiel 1 und ‒1 denselben Funk- tionswert haben. B ist umkehrbar 2 f ‒1 (x) = ‒ 1 _ 2 x – 1 _ 2 3 . C ist nicht umkehrbar, weil zum Beispiel 1 und ‒1 denselben Funk- tionswert haben. D ist umkehrbar, weil die Funktion nur für positive Zahlen definiert und damit eindeutig ist (f ‒1 : R – ¥ R + , x ¦ 9 __ ‒x). E ist umkehrbar (f ‒1 (x) = 4x). F ist umkehrbar, weil die Funktion nur für positive Zahlen definiert und damit eindeutig ist (f ‒1 : [1; • ) ¥ R + , x ¦ 9 ___ x – 1).] 2.3 Wurzelfunktionen 337. a. 12 9 __ a 11 4 6 9 _ a· 4 9 __ a 3 = a 1 _ 6 ·a 3 _ 4 = a 11 _ 12 = 12 9 __ a 11 5 b. 24 9 __ b 11 4 6 9 __ b 5 _ 8 9 __ b 3 = b 5 _ 6 ·b ‒ 3 _ 8 = b 20 _ 24 – 9 _ 24 = b 11 _ 24 = 24 9 __ b 11 5 c. 4 9 _ c 4 4 9 _ c· 3 9 __ c 2 · 6 9 _ c _ 6 9 __ c 5 = c 1 _ 4 ·c 2 _ 3 ·c 1 _ 6 ·c ‒ 5 _ 6 = c 1 _ 4 = 4 9 _ c 5 338. Es ist f(0) = 0, f(0,2) ≈ 0,381, f(0,6) ≈ 0,736, f(1) = 1, f(2) ≈ 1,516, f(4) ≈ 2,297. 339. von links nach rechts: C , A , D , B 340. a. Definitionsbereich: [2, • ); Lösung: 4 [ 9 ____ 6x + 1 – 9 ____ 3x – 3 = 9 ____ 2x – 4 | quadrieren 6x + 1 – 2· 9 ____ 6x + 1· 9 ____ 3x – 3 + 3x – 3 = 2x – 4 | zusammenfassen ‒2· 9 ____ 6x + 1· 9 ____ 3x – 3 = ‒7x – 2 | quadrieren 4·(6x + 1)(3x – 3) = 49x 2 + 28x + 4 | zusammenfassen 23x 2 – 88x – 16 = 0 Die Lösungen dieser Gleichung sind 4 und ‒ 4 _ 23 ; ‒ 4 _ 23 liegt nicht im Definitionsbereich, daher ist 4 die einzige Lösung.] b. Definitionsbereich: 4 1 _ 3 ; • 3 ; Lösungen: 0,513 und 8,994 Re Im 0 1 j z 1 z 2 Re Im 0 1 j z 1 z 2 x y 0 - 2 - 4 2 4 - 2 - 4 2 4 x y 0 - 2 - 4 2 4 - 2 - 4 2 4 x y 0 - 2 - 4 2 4 - 2 - 4 2 4 x y 0 - 2 - 4 2 4 - 2 - 4 2 4 x y 0 - 2 - 4 2 4 - 2 - 4 2 4 g g -1 y 0 x 1 2 3 1 2 3 4 5 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv