Mathematik HTL 2, Schulbuch

291 Lösungen zu „Was habe ich in diesem Abschnitt gelernt?“ 1 Quadratische Funktionen 1.1 Wiederholung 9. Nullstelle: ca. 2,7 10. Steigung: 8 _ 5 ; Ordinatenabschnitt: 14 _ 5 ; Nullstelle: ‒ 7 _ 4 [Wir bezeichnen die Steigung mit k und den Ordinatenabschnitt mit d, und lösen das Gleichungssystem I) ‒2 = ‒3k + d und II) 6 = 2k + d. Die Nullstelle erhalten wir durch Lösen der Gleichung 0 = 8 _ 5 x + 14 _ 5 .] 1.2 Graphen quadratischer Funktionen 49. D 4 f(x) = 1 _ 4 (x – 4) 2 + 2 = 1 _ 4 x 2 – 1 _ 4 ·8x + 1 _ 4 ·16 + 2 = 1 _ 4 x 2 – 2x + 6 5 50. a. f(x) = (x + 1) 2 [x 2 + 2x + 1 = (x + 1) 2 ] b. f(x) = (x – 2) 2 + 3 c. f(x) = 1 _ 2 (x + 2) 2 – 4 4 1 _ 2 x 2 + 2x – 2 = 1 _ 2 (x – s) 2 + t = = 1 _ 2 x 2 – x·s + 1 _ 2 s 2 + t w s = ‒2 und t = ‒2 – 1 _ 2 ·(‒2) 2 = ‒4 5 d. f(x) = ‒ 1 _ 4 (x – 4) 2 + 1 51. a. c. b. d. 52. von links nach rechts: D , A , B , C 53. (2 1 ‒4) [f(x) = ‒3x 2 + 12x – 16 = ‒3(x – s) 2 + t = = ‒3(x 2 – 2xs + s 2 ) + t = = ‒3x 2 + 6xs – 3s 2 + t Also ist 12x = 6xs und somit s = 2. Weiters ist ‒16 = ‒3·2 2 + t und somit t = ‒4. Der Scheitel ist daher (2 1 ‒4)] 54. A , D , F , G [Erklärung zu F : f(x) = 1 _ 4 x 2 + 3 _ 2 x + 5 _ 4 = 1 _ 4 (x – s) 2 + t = 1 _ 4 x 2 – 1 _ 2 x·s + 1 _ 4 s 2 + t w s = ‒3 und t = 5 _ 4 – 1 _ 4 ·(‒3) 2 = ‒1] 55. zum Beispiel: f mit f(x) = ‒(x – 2) 2 – 3 [Die gesuchte quadratische Funktion ist f mit f(x) = a(x – 2) 2 – 3, wobei a eine negative reelle Zahl ist.] 1.3 Nullstellen quadratischer Funktionen – quadratische Gleichungen 119. a. Nullstellen: 1 und 3; Scheitel: (2 1 ‒1) [Scheitel: a(z) = z 2 – 4z + 3 = (z – s) 2 + t = z 2 – 2sz + s 2 + t w s = 2 und t = 3 – 2 2 = ‒1; Nullstellen: Die Nullstellen sind die Lösungen der Gleichung 0 = (z – 2) 2 – 1, also die Zahlen 1 und 3.] b. Nullstellen: ‒2 und 2; Scheitel: (0 1 ‒4) c. keine Nullstelle; Scheitel: 2 ‒1 1 1 _ 2 3 d. Nullstellen: ‒1 und 3; Scheitel: (1 1 4) 120. (‒1 1 3) und (3 1 7) [Wir lösen die Gleichung x 2 – x + 1 = x + 4. Diese ist äquivalent zu x 2 – 2x – 3 = 0. Die Lösungen sind ‒1 und 3.] 121. f mit f(x) = x 2 + 7 _ 4 x – 1 _ 2 [(x – (‒2))· 2 x – 1 _ 4 3 = x 2 + 2x – 1 _ 4 x – 2 _ 4 = x 2 + 7 _ 4 x – 1 _ 2 ] 122. (x – a)·(x – b) = 0 oder x 2 – (a + b)·x + ab = 0 123. 27 und ‒6 [Wir müssen die Gleichung 6x(x – 21) = 972 lösen. Die Lösungen sind ‒6 und 27.] 124. 30cm und 35cm [Wir bezeichnen mit a die Länge in cm der einen Kathete und mit a + 5 die Länge der anderen Kathete. Es muss a· a + 5 _ 2 = 525 gelten. Die Lösungen dieser Gleichung sind 30 und ‒35. Da Längen nur positiv sein können, ist a = 30.] 1.4 Modellieren mit quadratischen Funktionen 162. f mit f(x) = 1 _ 2 x 2 – 3 _ 2 x – 2 [Wir müssen die Koeffizienten a, b und c der quadratischen Funktion f mit f(x) = ax 2 + bx + c berechnen. Sie sind die Lösungen des Gleichungssystems I) 7 = 9a – 3b + c, II) ‒3 = 4a + 2b + c und III) 3 = 25a + 5b + c.] 163. f mit f(x) = 1 _ 8 x 2 + 3 _ 8 x – 5 [Wir müssen die Koeffizienten a, b und c der quadratischen Funktion f mit f(x) = ax 2 + bx + c berechnen. Sie sind die Lösungen des Gleichungssystems I) ‒5,25 = 4a – 2b + c, II) ‒4,5 = a + b + c, III) 1,75 = 36a + 6b + c.] 164. 9cm [Wir wählen ein Koordinatensystem so, dass die Aufhänge- punkte (0 1 0) und (2 1 0) sind. In der Mitte hängt das Seil 25cm durch, das heißt, auch der Punkt (1 1 ‒0,25) liegt auf dem Seil. Für die quadratische Funktion f mit f(x) = ax 2 + bx + c, deren Graph das Seil beschreiben soll, muss gelten: 0 = a·0 2 + b·0 + c, 0 = a·2 2 + b·2 + c und ‒0,25 = a·1 2 + b·1 + c. Also muss a = 1 _ 4 , b = ‒ 1 _ 2 und c = 0 sein, somit ist f mit f(x) = 1 _ 4 x 2 – 1 _ 2 x die gesuchte quadratische Funktion. Wegen f(0,2) = 1 _ 4 ·(0,2) 2 – 1 _ 2 ·(0,2) = ‒0,09 hängt das Seil 20cm von der Befestigung ca. 9cm durch.] 165. C [Die Funktionswerte der quadratischen Funktion in C an den Stellen 80, 85 und 90 sind 28, 31 und 36. Beachte, dass die Funktion den Kraftstoffverbrauch nur im Bereich zwischen ungefähr 75 und 100km/h realistisch beschreibt, der Kraftstoffverbrauch bei 0km/h würde bei 252 Litern liegen.] x y 0 - 2 - 4 2 4 - 2 - 4 2 4 N x y 0 - 2 - 4 2 4 - 2 - 4 2 4 x y 0 - 2 - 4 2 4 - 2 - 4 2 4 x y 0 - 2 - 4 2 4 - 2 - 4 2 4 x y 0 - 2 - 4 2 4 - 2 - 4 2 4 x y 0 - 2 - 4 2 4 - 2 - 4 - 6 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlag öbv