Mathematik HTL 2, Schulbuch

29 1.4 Modellieren mit quadratischen Funktionen Ich lerne eine quadratische Funktion zu berechnen, wenn ich von ihr Funktionswerte an drei verschiedenen Stellen kenne. Ich lerne Situationen durch eine quadratische Gleichung zu beschreiben und ich lerne zu entscheiden, ob die rechnerische Lösung sinnvoll ist. Ich lerne zu entscheiden, ob eine quadratische Funktion einen gegebenen Sachverhalt richtig beschreibt. Wenn wir einen kleinen Ball senkrecht in die Höhe werfen, dann steigt er zuerst schnell, wird dann lang- samer, bleibt schließlich stehen und fällt dann immer schneller wieder nach unten. Der Graph der Funktion h: R ¥ R , die jedem Zeitpunkt (in Sekunden gemessen) die Höhe (in Metern) des Balles zuordnet, wird daher ungefähr so aussehen wie in der Abbildung rechts. Dabei haben wir zur Zeit 0 Sekunden den Ball in die Höhe geworfen, nach s Sekunden hat er die größte Höhe erreicht und nach r Sekunden hat er die Aus- gangshöhe wieder erreicht. Dieser Graph sieht aus wie der Graph einer quadratischen Funktion. Es liegt daher nahe, dass die Funktion h eine quadratische Funktion ist, also für alle x ist h(x) = ax 2 + bx + c für geeignete reelle Zahlen a, b und c. Wir entscheiden uns für diese Annahme und müssen nur noch die Koeffizienten von h bestimmen. Dazu müssen wir etwas über h wissen. Wenn wir die Höhe nach 0, 1 und 2 Sekunden zu 0 Meter, 15 Meter und 20 Meter gemessen haben, erhalten wir: für h(0): c = 0 für h(1): a + b + c = 15 für h(2): 4a + 2b + c = 20 Um die Zahlen a, b, c zu berechnen, lösen wir dieses System von drei linearen Gleichungen mit drei Unbekannten und erhalten a = ‒ 5, b = 20 und c = 0, also h(x) = ‒ 5x 2 + 20x. Nun können wir die Höhe des Balles zu einem beliebigen Zeitpunkt berechnen. Nach drei Sekunden befindet er sich in h(3) = ‒ 5·32 + 20·3 = 15 Meter Höhe. Wann ist er wieder am Boden? Dazu müssen wir eine Zahl z so finden, dass h(z) = 0 ist. Die Nullstellen von h mit h(x) = ‒ 5x 2 + 20x = ‒ 5x(x – 4) sind 0 und 4. Also ist der Ball nach 4 Sekunden wieder am Boden. Wenn wir den Zusammenhang von zwei Eigenschaften durch eine quadratische Funktion beschreiben, dann sagen wir, dass wir für die Beschreibung ein quadratisches Modell gewählt haben. x r h(x) 0 h max s S ggb ik7sz9 quadratisches Modell Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv