Mathematik HTL 2, Schulbuch

280 Zusammenfassung Jede Funktion f: G ¥ W können wir als Merkmal betrachten. Ihren Definitionsbereich nennen wir dann Grundgesamtheit dieses Merkmals, die Elemente ihres Wertebereichs nennen wir Werte des Merkmals oder Merkmalsausprägungen . Ein Merkmal, mit dessen Werten nicht sinnvoll gerechnet werden kann, nennen wir ein qualitatives Merkmal . Ein Merkmal, mit dessen Werten sinnvoll gerechnet werden kann, nennen wir quantitatives Merkmal . Die absolute Häufigkeit eines Merkmals f: G ¥ W ist die Funktion h a : W ¥ N , die durch h a (y) = Anzahl der Elemente g * G mit f(g) = y definiert ist. Die relative Häufigkeit dieses Merkmals ist die Funktion h r : W ¥ Q mit h r (y) = h a (y) _ n , dabei ist n die Anzahl der Elemente von G. Wir betrachten ein quantitatives Merkmal f: G ¥ R über der Grundgesamtheit G. Wir ordnen die Elemente g 1 , g 2 , …, g n von G so an, dass f(g 1 ) ª f(g 2 ) ª … ª f(g n ) ist. Es ist üblich, statt f(g 1 ), f(g 2 ), …, f(g n ) die Zeichen x 1 , x 2 , …, x n und statt f dann x zu schreiben. Der Median von f oder x ist dann der „Funktionswert in der Mitte“, also die Zahl ˜ x = 1 _ 2 ( x n _ 2 + x n _ 2 + 1 ) , wenn n eine gerade Zahl ist und ˜ x = x n + 1 _ 2 , wenn n eine ungerade Zahl ist. Wir ordnen die Elemente g 1 , g 2 , …, g n von G irgendwie an und schreiben wie oben x 1 , x 2 , …, x n statt f(g 1 ), f(g 2 ), …, f(g n ). Das arithmetische Mittel oder einfach der Mittelwert von f ist dann _ x = 1 _ n ; i = 1 n x i = x 1 + x 2 + … + x n __ n . Das geometrische Mittel von f ist die n-te Wurzel aus dem Produkt aller Funktionswerte von f: n 9 _______ x 1 ·x 2 · … ·x n Ist f: G ¥ R ein quantitatives Merkmal, G = {g 1 , …, g n } und _ x sein arithmetische Mittel, dann heißt die Zahl Var(f) = 1 _ n · ; i = 1 n (x i – _ x) 2 = (x 1 – _ x) 2 + (x 2 – _ x) 2 + … + (x n – _ x) 2 _____ n Varianz von f. Ihre Wurzel 9 ___ Var(f) heißt Standardabweichung von f. Merkmal absolute Häufigkeit relative Häufigkeit Median arithmetisches Mittel geometrisches Mittel Varianz Standard- abweichung Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv