Mathematik HTL 2, Schulbuch

271 8.2 Quantitative Merkmale 1191 Führt für eure Klasse eine Untersuchung durch. a. Legt Merkmale fest, die für alle Schülerinnen und Schüler eurer Klasse zu bestimmen sind (zum Beispiel Größe, Gewicht, Augenfarbe, Inhalt der Geldbörse etc). Erhebtmindestens zehn verschiedene Merkmale pro Person. Fasst die Daten in einer Tabelle zusammen. b. Ermittelt die absoluten und relativen Häufigkeiten der qualitativen Merkmale und stellt diese in geeigneten Diagrammen dar. c. Berechnet das arithmetische Mittel, die Spannweite, die Standardabweichung und den Variationskoeffizienten der quantitativen Merkmale. Welche Merkmale sind breiter gestreut, welche weniger? Geometrisches Mittel Ein Betrieb hat drei gute Jahre hinter sich. Im ersten Jahr hat er seinen Umsatz um 7%, im zweiten Jahr um 14% und im dritten Jahr um 11% gesteigert. Nennen wir den Umsatz vor drei JahrenU, dann war der Umsatz nach dem ersten Jahr 1,07U, nach dem zweiten Jahr 1,14·1,07U = 1,220U und nach dem dritten Jahr 1,11·1,14·1,07U = 1,354 U. Die Zahlen 1,07, 1,14 und 1,11 heißen die Wachstumsfaktoren des Umsatzes. Wie groß hätte der Wachstumsfaktor z jedes Jahr sein müssen, wenn er jedes Jahr gleich gewesen wäre und nach drei Jahren zum selben Ergebnis geführt hätte? Diese Zahl z nennen wir den mittleren Wachstumsfaktor . Wir suchen also eine Zahl z so, dass z·z·z U = 1,354U ist, also muss z die dritte Wurzel aus 1,357 und daher ungefähr 1,11 sein. Der Umsatz hätte sich jedes Jahr um ca. 11% steigern müssen. Wir erhalten daher ein anderes Mittel: das geometrische Mittel. Wir betrachten ein quantitatives Merkmal f: G ¥ R über der Grundgesamtheit G. Wir ordnen die Elemente g 1 , g 2 , …, g n von G irgendwie an und schreiben wie oben x 1 , x 2 , …, x n statt f(g 1 ), f(g 2 ), …, f(g n ). Das geometrische Mittel von f ist dann die n-te Wurzel aus dem Produkt aller Funk- tionswerte von f: n 9 _______ x 1 ·x 2 ·…·x n . 1192 Der Wert einer Aktie ist in den letzten drei Tagen zuerst um 2,5% gestiegen, dann um 1,7% gefallen und schließlich wieder um 1,5% gestiegen. Berechne die mittlere Veränderung. Der Anstieg von 2,5% entspricht einem Wachstumsfaktor von 1,025. Die Abnahme von 1,7% entspricht einem Wachstumsfaktor von 0,983. Der Anstieg von 1,5% entspricht einem Wachstumsfaktor von 1,015. Das geometrische Mittel ist also 3 9 __________ 1,025·0,983·1,015 = 1,007506… Der Wert der Aktie ist also im Mittel täglich um 0,75% gestiegen. 1193 Entscheide, ob das geometrische oder das arithmetische Mittel den Mittelwert besser wiedergibt. a. Verzinsung in Prozent d. Inflationsraten in Prozent b. Bevölkerungszahlen in 1 000 e. Wertveränderungen eines Aktienkurses in Prozent c. Größe in Meter f. Anzahl der Museumsbesucher an verschiedenen Tagen 1194 Entscheide, welches Mittel sinnvoll ist, und berechne dieses. a. Bei Schülern wurden folgende Körpergrößen in Zentimeter gemessen: 165, 154, 172, 184, 166, 181, 177, 178, 166, 169 b. Die Inflationsrate in einem Land betrug in drei aufeinanderfolgenden Jahren 2,5%, 4% und 3,7%. c. Die Preissteigerungen eines Betriebs betrugen in den letzten vier Jahren 1%, 2%, 1% und 3%. A, C geometrisches Mittel B ggb/xls/tns ia2x5m geometrisches Mittel berechnen C B, C Nur zu Prüfzweck n – Eigentum des Verlags öbv