Mathematik HTL 2, Schulbuch

270 Beschreibende Statistik Für eine mittlere Abweichung brauchen wir also ein anderes Konzept. Wir betrachten daher die Quadrate der Abweichungen und erhalten 36, 1, 16, 0, 4, 1, 16, 25, 0, 4, 1, 576. Das arithmetische Mittel davon ist 1 _ 12 · ; i = 1 12 2 Umsatz i – _ Umsatz 3 2 = 1 _ 12 ·(36 + 1 + 16 + 0 + 4 + 1 + 16 + 25 + 0 + 4 + 1 + 576) = 170 _ 3 = 56,67. Wir nennen diese mittlere quadratische Abweichung vom Mittelwert Varianz des Merkmals. Die Wurzel 9 ______________ 1 _ 12 · ; i = 1 12 2 Umsatz i – _ Umsatz 3 2 = 9 __ 170 _ 3 ≈ 7,53 aus der Varianz nennen wir Standardabweichung des Merkmals. Allgemein definieren wir: Ist f: G ¥ R ein quantitatives Merkmal, G = {g 1 , …, g n } und _ x sein arithmetische Mittel, dann heißt die Zahl Var(f) = 1 _ n · ; i = 1 n (x i – _ x) 2 = (x 1 – _ x) 2 + (x 2 – _ x) 2 + … + (x n – _ x) 2 _____ n Varianz von f. Ihre Wurzel 9 ___ Var(f) heißt Standardabweichung von f. Dabei haben wir wieder x 1 , x 2 , …, x n statt f(g 1 ), f(g 2 ), …, f(g n ) geschrieben. Betrachten wir nun für unser Beispiel den Quotienten der Standardabweichung und des arithmetischen Mittels, so erhalten wir 7,53 _ 26 = 0,28 = 28% und können schließen, dass der Monatsumsatz im Mittel um 28% vom arithmetischen Mittel abweicht. Den Quotienten von Standardabweichung und arithmetischem Mittel nennt man Variationskoeffizient. Je größer der Variationskoeffizient, desto mehr weichen die Werte eines Merkmals vom arithmetischem Mittel ab. Man sagt, dass bei größerem Variationskoeffizienten die Daten „breiter gestreut“ sind. 1189 Die Körpergrößen der fünf Spieler einer Basketballmannschaft sind in Zentimetern 193, 179, 205, 188 und 190. Berechne das arithmetische Mittel, die Spannweite, die Varianz und den Variationskoeffizienten. Mit f bezeichnen wir das Merkmal Körpergröße. Arithmetisches Mittel: _ f = 193 + 179 + 205 + 188 + 190 ____ 5 = 191 cm Spannweite: Das Minimum ist 179, das Maximum 205. Also beträgt die Spannweite 26 cm. Varianz: Var(f) = 1 _ 5 [(193 – 191) 2 + (179 – 191) 2 + (205 – 191) 2 + (188 – 191) 2 + (190 – 191) 2 ] = 1 _ 5 ·354 = 70,8 Standardabweichung: 9 ___ Var(f) = 9 ___ 70,8 = 8,41 Variationskoeffizient: 8,41 _ 191 = 0,044 = 4,4% 1190 Berechne das arithmetische Mittel, die Spannweite, die Varianz und den Variationskoeffizienten. a. Körpergewicht in Kilogramm: (55, 67, 53, 82, 85, 66, 74) b. Monatliches Bruttoeinkommen in Euro: (2140, 2560, 1750, 1 970, 2440) c. Anzahl Kinobesucher pro Vorstellung: (55, 68, 104, 74, 88, 97, 85, 57, 69) Varianz Standard- abweichung Variations- koeffizient B arithmetisches Mittel, Spann- weite, Varianz und Variations- koeffizienten berechnen ggb/xls/tns vv87sm B Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv