Mathematik HTL 2, Schulbuch

268 Beschreibende Statistik Wir betrachten ein quantitatives Merkmal f: G ¥ R über der Grundgesamtheit G. Wir ordnen die Elemente g 1 , g 2 , …, g n von G so an, dass f(g 1 ) ª f(g 2 ) ª … ª f(g n ) ist. Es ist üblich, statt f(g 1 ), f(g 2 ), …, f(g n ) die Zeichen x 1 , x 2 , …, x n und statt f dann x zu schreiben. Der Median von f oder x ist dann der „Funktionswert in der Mitte“, also die Zahl ˜ x = 1 _ 2 ( x n _ 2 + x n _ 2 + 1 ) , wenn n eine gerade Zahl ist und ˜ x = x n + 1 _ 2 , wenn n eine ungerade Zahl ist. Für die Definition des arithmetischen Mittels vereinfachen wir zunächst die Schreibweise. Dafür ersetzen wir die Menge der Monate auch durch die Menge der natürlichen Zahlen von 1 bis 12 und schreiben dann Umsatz i , wenn wir den Umsatz des Monats meinen, der durch die Zahl i ersetzt wurde. Monat 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Umsatz 20 25 22 26 24 25 22 21 26 24 27 50 Hier ist also zum Beispiel Umsatz 1 = 20 oder Umsatz 11 = 27. Diese Schreibweise ist oft vorteilhaft, wenn wir mit quantitativen Merkmalen rechnen. Den Jahresumsatz (Summe aller Monatsumsätze) können wir nun kurz so schreiben: Jahresumsatz = ; i = 1 12 Umsatz i In unserem Fall ist ; i = 1 12 Umsatz i = 312000€. Das arithmetische Mittel (Summe aller Monatsumsätze dividiert durch die Anzahl der Monate) kann nun auch kurz so geschrieben werden: _ Umsatz = 1 _ 12 · ; i = 1 12 Umsatz i In unserem Fall ist _ Umsatz = 1 _ 12 · ; i = 1 12 Umsatz i = 312000 __ 12 = 26000€. Der Querstrich über „Umsatz“ zeigt an, dass es sich um einen Mittelwert handelt. Wir betrachten ein quantitatives Merkmal f: G ¥ R über der Grundgesamtheit G. Wir ordnen die Elemente g 1 , g 2 , …, g n von G irgendwie an und schreiben wie oben x 1 , x 2 , …, x n statt f(g 1 ), f(g 2 ), …, f(g n ). Das arithmetische Mittel oder einfach der Mittelwert von f ist dann _ x = 1 _ n ; i = 1 n x i = x 1 + x 2 + … + x n __ n . Sowohl der Median also auch das arithmetische Mittel beschreiben die „Mitte“ einer Datenmenge. Welche Zahl die Mitte besser repräsentiert, hängt von der jeweiligen Situation ab. 1184 In einer Gemeinde gibt es sieben Betriebe mit 2, 3, 3, 4, 5, 5 und 48 Beschäftigten. Berechne das arithmetische Mittel sowie den Median der Anzahl der Beschäftigten. Welche dieser Zahlen beschreibt die „durchschnittliche Betriebsgröße“ besser? Die Betriebe sind schon nach der Anzahl ihrer Beschäftigten angeordnet. Der Median ist die Anzahl der Beschäftigten im Betrieb in der Mitte der Liste, also 4. Das arithmetische Mittel der Anzahl der Beschäftigten ist 2 + 3 + 3 + 4 + 5 + 5 + 48 ____ 7 = 10. Der Median ist hier besser geeignet, die „durchschnittliche Betriebsgröße“ dieser Gemeinde zu beschreiben, weil nur ein einziger Betrieb mehr als 5 Beschäftigte hat. Median arithmetisches Mittel Mittelwert B ggb/xls/tns 5n8s2m arithmetisches Mittel und Median berechnen Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv