Mathematik HTL 2, Schulbuch

26 Quadratische Funktionen Der Satz von Vieta Mithilfe der Division mit Rest eines Polynoms f durch das Polynom g mit g(x) = x – z haben wir gezeigt: Eine Zahl z ist genau dann eine Nullstelle von f, wenn das Polynom g das Polynom f teilt, also wenn es ein Polynom h gibt mit f = h·g. Wenn f eine quadratische Funktion ist, also gr(f) = 2 ist, muss wegen gr(g) = 1 dann gr(h) = 1 sein. Wenn der Leitkoeffizient von f gleich 1 ist, muss auch der von h gleich 1 sein. Also gibt es eine Zahl u so, dass für alle Zahlen x h(x) = x – u ist. Weil h das Polynom f teilt, muss u eine Nullstelle von f sein. Daher: Wenn f mit f(x) = x 2 + px + q mindestens eine Nullstelle hat (wenn also p 2 – 4q º 0 ist), dann ist f(x) = x 2 + px + q = (x – u)(x – z), dabei sind u und z die Nullstellen von f. Die Zahlen u und z sind genau dann gleich, wenn f nur eine Nullstelle hat, also p 2 = 4q ist. Wenn wir (x – u)(x – z) ausmultiplizieren, erhalten wir x 2 – (u + z)x + u·z, also ist die Summe der Nullstellen gleich ‒p und das Produkt der Nullstellen gleich q. Wenn wir eine quadratische Gleichung lösen, dann ist eine quadratische Funktion gegeben und wir sollen ihre Nullstellen berechnen. Wir können diese Aufgabe auch umkehren: Zwei Zahlen sind gegeben und wir sollen eine quadratische Funktion finden, deren Nullstellen diese Zahlen sind. Das ist nun sehr einfach zu lösen: Sind die Zahlen u und z gegeben, dann ist (x – u)(x – z) = x 2 – (u + z)x + u·z eine quadratische Funktion, deren Nullstellen u und z sind. 97 Welche quadratische Funktion f mit Leitkoeffizient 1 hat 2 und ‒ 3 als Nullstellen? f(x) = (x – 2)(x + 3) = x 2 + (3 – 2)x + (‒ 3)·2 = x 2 + x – 6 98 Finde eine quadratische Gleichung, die die Lösungen ‒ 3 und 0,5 hat. 99 Finde eine quadratische Funktion, die die Nullstellen 4 und ‒ 0,5 hat. 100 Finde eine quadratische Gleichung, die nur ‒1 als Lösung hat. 101 Welche quadratischen Gleichungen haben nur genau eine Lösung a? Formuliere allgemein und gib dann drei spezielle Beispiele an. 102 Berechne eine quadratische Funktion, deren Nullstellen m und 1 _ m sind (m ≠ 0). 103 Welche quadratischen Gleichungen haben die Lösungen a und ‒ a? Formuliere allgemein und gib dann drei spezielle Beispiele an. 104 Löse die Gleichung mithilfe des Satzes von Vieta im Kopf. a. x 2 – 5x + 6 = 0 b. x 2 – 10x + 16 = 0 c. x 2 + 4x + 3 = 0 d. x 2 – 5x – 50 = 0 105 Das Produkt der beiden Lösungen einer quadratischen Gleichung ist ‒ 5, ihre Summe ist ‒ 4. Wie lautet diese quadratische Gleichung? Welche Lösungen hat sie? 106 Das Produkt der beiden Lösungen einer quadratischen Gleichung ist 24, ihre Summe ist 11. Bestimme die beiden Lösungen und gib die zugehörige quadratische Gleichung an. 107 Das Produkt der beiden Lösungen einer quadratischen Gleichung ist ‒ 4, ihre Summe ist ‒7,5. Wie lautet die passende quadratische Gleichung. Bestimme die Lösungen. Satz von Vieta ggb v64sg6 B B B B A B A B A, B A, B A, B Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv