Mathematik HTL 2, Schulbuch

256 Zusammenfassung Ein Rechteck von Zahlen M = 2 M 11 M 21 M m1 M 12 M 22 M m2 … … … M 1n M 2n M mn 3 nennen wir eine m×n-Matrix oder Matrix mit m Zeilen und n Spalten. M ij nennen wir den i-j-ten Eintrag oder i-j-ten Koeffizienten von M. Die Summe zweier n×m-Matrizen berechnen wir, indem wir die entsprechenden Koeffizienten addieren. Beispiel: 2 A 11 A 12 A 21 A 22 3 + 2 B 11 B 12 B 21 B 22 3 = 2 A 11 + B 11 A 12 + B 12 A 21 + B 21 A 22 + B 22 3 Ist c eine Zahl, dann berechnen wir das c-Fache einer m×n-Matrix , indem wir alle Koeffizienten von A mit c multiplizieren. Beispiel: c· 2 A 11 A 12 A 21 A 22 3 = 2 c·A 11 c·A 12 c·A 21 c·A 22 3 Für das Addieren von Matrizen und das Multiplizieren einer Matrix mit einer Zahl gelten dieselben Rechenregeln wie für das Rechnen mit Zeilen und Spalten. Das Produkt einer m×n-Matrix A und einer n×p-Matrix B ist die m×p-Matrix A·B, deren i-j-ter Koeffizient das Produkt der i-ten Zeile von A mit der j-ten Spalte von B ist, i = 1, 2, …, m und j = 1, 2, …, p. Mit dem Summenzeichen kurz: (A·B) ij = ; k = 1 n A ik ·B kj Bei der Matrizenmultiplikation darf man die Reihenfolge der Faktoren nicht vertauschen. Im Allgemeinen ist A·B ≠ B·A. Die Zahl det(A) = A 11 ·A 22 – A 12 ·A 21 heißt Determinante der Matrix A = 2 A 11 A 12 A 21 A 22 3 . Die Matrix A = 2 A 11 A 12 A 21 A 22 3 ist genau dann invertierbar, wenn det(A) ≠ 0 ist. Dann ist A ‒1 = 1 _ det(A) 2 A 22 ‒A 21 ‒A 12 A 11 3 die zu A inverse Matrix . Ein System von zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten I) 3x 1 + 4x 2 = 7 II) 2x 1 – 1x 2 = 1 können wir auch in der Form 2 3 2 4 ‒1 3 · ( x 1 x 2 ) = 2 7 1 3 bzw. kürzer als A·x = b anschreiben. Wenn A invertierbar ist, dann ist A –1 b die einzige Lösung des Gleichungssystems. Matrix Summe Vielfaches Produkt Determinante Inverse Matrix Gleichungs- system in Matrizenform Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv