Mathematik HTL 2, Schulbuch

253 7.3 Systeme linearer Gleichungen in Matrizenform Ist A eine 2×2-Matrix, dann nennen wir die Zahl A 11 A 22 – A 21 A 12 die Determinante von A, wir schreiben dafür: det (A) Beispiele:  det 2 2 2 3 1 4 3 3 = 2 · 4 – 1 · 3 = 5  det 2 2 a b c d 3 3 = ad – bc Wir betrachten die beiden Matrizen A = 2 a b c d 3 und B = 2 d ‒ c ‒b a 3 und berechnen deren Produkt. Wir erhalten: A · B = 2 ad – bc cd – cd ‒ ab + ab ad – bc 3 = 2 ad – bc 0 0 ad – bc 3 B · A = 2 ad – bc ‒ ac + ac bd – bd ad – bc 3 = 2 ad – bc 0 0 ad – bc 3 Das ist beide Male ein Vielfaches der Einheitsmatrix. Genauer: A · B = B · A = (ad – bc) · 2 1 0 0 1 3 Die Zahl ad – bc ist aber nichts anderes als die Determinante von A. Wir haben somit eine einfache Methode entdeckt, mit der wir die zu einer 2×2 Matrix inverse Matrix erhalten können: Ist die Determinante einer 2×2-Matrix A nicht 0, so ist die zu A inverse Matrix A ‒1 = 1 _ det(A) · 2 A 22 ‒A 21 ‒A 12 A 11 3 Wenn A invertierbar ist, besitzt das Gleichungssystem Ax = b für jede Spalte b eine eindeutige Lösung. Diese ist A ‒1 · b. 1142 Löse das Gleichungssystem 2 3 2 4 ‒1 3 · ( x 1 x 2 ) = 2 7 1 3 . det 2 3 2 4 ‒1 3 = 3 · (‒1) – 2·4 = ‒11 Die inverse Matrix ist daher A ‒1 = ‒ 1 _ 11 2 ‒1 ‒ 2 ‒ 4 3 3 = 2 1 _ 11 2 _ 11 4 _ 11 ‒ 3 _ 11 3 . A ‒1 ·b = 2 1 _ 11 2 _ 11 4 _ 11 ‒ 3 _ 11 3 2 7 1 3 = 2 1 1 3 Die einzige Lösung dieses Gleichungssystems ist daher 2 1 1 3 . 1143 Berechne die Determinante der 2×2-Matrix. a. 2 1 4 2 3 3 d. 2 2 6 5 ‒1 3 g. 2 3 6 ‒ 2 ‒ 4 3 j. 2 0,4 ‒ 2,3 ‒1,9 1,8 3 b. 2 1 0 0 1 3 e. 2 7 2 1 0 3 h. 2 5 ‒1 ‒ 2 3 3 k. 2 1 _ 2 ‒ 1 _ 4 5 1 _ 3 3 c. 2 3 ‒ 4 ‒ 2 1 3 f. 2 8 0 ‒ 5 0 3 i. 2 0 1 1 0 3 l. 2 1 _ 6 1 _ 8 2 _ 5 ‒ 4 _ 9 3 Determinante Inverse einer 2×2-Matrix B ggb/xls hm5y6c ein Gleichungs- system in Matrizenform lösen B Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv