Mathematik HTL 2, Schulbuch

252 7.3 Systeme linearer Gleichungen in Matrizenform Ich lerne die Determinante einer 2×2-Matrix zu berechnen und damit zu entscheiden, ob die Matrix invertierbar ist. Ich lerne ein System von zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten mithilfe der Matrizen- rechnung übersichtlich darzustellen und zu lösen. Systeme linearer Gleichungen haben wir im Vorjahr kennengelernt. Mithilfe von Matrizen können wir Gleichungssysteme kürzer anschreiben. Das System linearer Gleichungen 3x 1 + 4 x 2 = 7 2 x 1 – x 2 = 1 können wir kürzer so anschreiben: 2 3 2 4 ‒1 3 · ( x 1 x 2 ) = 2 7 1 3 Oder noch kürzer: A·x = b, dabei ist A die 2×2 Matrix 2 3 2 4 ‒1 3 , b die Spalte 2 7 1 3 mit 2 Zeilen und x die Spalte ( x 1 x 2 ) mit 2 Zeilen. Wir können dann auf neue Weise definieren, was ein System linearer Gleichungen ist. Ein System linearer Gleichungen mit m Gleichungen und n Unbekannten ist die folgende Aufgabe: Gegeben sind eine m×n-Matrix A und eine Spalte b mit m Zeilen. Gesucht ist eine Beschreibung der Menge aller Spalten x (mit n Zeilen) mit der Eigenschaft A·x = b. Die Matrix A wird auch als Koeffizientenmatrix des Systems linearer Gleichungen bezeichnet. Wenn A und b jeweils nur einen Eintrag haben, also Zahlen sind, und A nicht 0 ist, dann ist die eindeutig bestimmte Lösung der Gleichung A·x = b gleich A ‒1 ·b. Ist das für Matrizen mit mehr als einer Zeile und Spalte auch möglich? Was bedeutet dann A ‒1 ? Ist z eine reelle Zahl, dann ist z ‒1 die Zahl mit der Eigenschaft z ‒1 ·z = 1 = z · z ‒1 . Für eine n×n-Matrix A definieren wir daher A ‒1 als eine Matrix mit der Eigenschaft A ‒1 ·A = E n = A·A ‒1 . Wenn zu A eine solche Matrix A ‒1 existiert, dann heißt A invertierbar und A ‒1 die zu A inverse Matrix. Tipp Eine inverse Matrix zu einer Matrix A kann nur dann existieren, wenn A gleich viele Zeilen wie Spalten hat. Nicht alle Matrizen sind invertierbar: Zum Beispiel ist 2 0 1 0 0 3 nicht invertierbar, denn für alle 2×2-Matrizen 2 a c b d 3 ist 2 0 0 1 0 3 · 2 a b c d 3 = 2 0 0 a b 3 , also können wir nie die Einheitsmatrix erhalten. Daher ist die Matrix 2 0 0 1 0 3 nicht invertierbar. Wir betrachten Gleichungssysteme, deren Koeffizientenmatrix eine 2×2-Matrix ist, das heißt Systeme von 2 Gleichungen mit 2 Unbekannten. System linearer Gleichungen Koeffizienten- matrix ggb p37ut9 invertierbar inverse Matrix Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv