Mathematik HTL 2, Schulbuch

250 Matrizenrechnung Rechenregeln für die Multiplikation von Matrizen Mit E n bezeichnen wir die n-te Einheitsmatrix , das ist die n×n- Matrix, deren Koeffizienten gleich 1 sind, wenn der Zeilenindex gleich dem Spaltenindex ist, und 0 sind, wenn diese Indizes verschieden sind. E n = 2 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 3 Für positive ganze Zahlen m, n, p und q bezeichnen wir mit A eine m×n-Matrix, mit B und B ' n×p-Matrizen, mit C eine p×q-Matrix. Dann gilt: E m ·A = A und A·E n = A Multipliziert man eine Matrix mit einer Einheitsmatrix, ändert sich nichts. (A·B) · C = A · (B · C) BeimMultiplizieren von Matrizen können wir die Klammern weglassen. A · (B + B') = A·B + A·B' Addiert man zuerst zwei Matrizen und multipliziert (B + B') · C = B·C + B' · C dann die Summe mit einer dritten, erhält man dieselbe Matrix, wie wenn man zuerst jede der zwei Matrizen mit der dritten multipliziert und dann diese Produkte addiert. Den Übergang von A·(B + B ' ) zu A·B + A·B ' nennen wir ausmultiplizieren , den von A·B + A·B ' zu A·(B + B ' ) herausheben . Um diese Rechenregeln nachzuprüfen, benutzt man die entsprechenden Regeln für das Rechnen mit Zahlen. Achtung Das Rechnen mit Matrizen ist in vieler Hinsicht dem Rechnen mit ganzen Zahlen oder mit reell- wertigen Funktionen ähnlich. Es gibt aber einen wichtigen Unterschied: Bei Matrizen darf man die Reihenfolge der Faktoren eines Produktes nicht vertauschen. Auch wenn sowohl A·B als auch B·A berechnet werden können, sind diese zwei Matrizen im Allgemeinen nicht gleich. Beispiel: Es ist 2 0 0 1 0 3 · 2 0 1 0 0 3 = 2 0 0 0 1 3 , aber 2 0 1 0 0 3 · 2 0 0 1 0 3 = 2 1 0 0 0 3 ! 1134 Berechne A·B und, wenn möglich, B·A. a. A = 2 2 ‒ 5 1 3 3 ; B = 2 3 1 0 2 3 c. A = 2 4 1 ‒ 2 3 0 ‒1 4 3 2 5 0 0 7 0 5 3 ; B = 2 1 0 2 0 ‒ 3 1 2 0 0 0 1 3 5 2 0 3 b. A = 2 1 2 3 ‒ 4 ‒ 3 2 0 1 0 3 ; B = 2 2 1 0 1 ‒ 4 7 2 1 ‒ 3 3 d. A = 2 1 _ 2 ‒ 1 _ 4 1 0 ‒ 2 3 2 0 ‒ 3 _ 2 3 ; B = 2 3 _ 4 ‒ 3 _ 32 5 _ 16 3 _ 2 ‒ 11 _ 16 ‒ 3 _ 8 1 ‒ 1 _ 8 ‒ 1 _ 4 3 1135 Berechne (A·B)·C und A·(B·C). a. A = 2 2 4 1 3 3 ; B = 2 1 2 0 5 3 ; C = 2 0 1 2 4 3 b. A = 2 1 2 0 0 1 4 2 0 1 3 ; B = 2 1 0 2 1 2 1 1 2 0 3 ; C = 2 2 4 3 1 1 0 3 0 1 3 1136 Berechne (A + B)·C und A·C + B·C. a. A = 2 1 3 2 ‒1 3 ; B = 2 2 ‒1 ‒ 2 3 3 ; C = 2 1 2 2 ‒1 3 b. A = 2 1 0 2 2 1 0 0 ‒ 3 1 3 ; B = 2 2 1 ‒1 0 1 2 2 1 0 3 ; C = 2 1 1 2 ‒ 2 1 1 3 0 ‒1 3 n-te Einheits- matrix Rechenregeln für Matrizen- multiplikation Assoziativ- gesetz Distributiv- gesetz B B B Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv