Mathematik HTL 2, Schulbuch

25 1.3 Nullstellen quadratischer Funktionen – quadratische Gleichungen 88 Gegeben sind zwei Funktionen von R nach R : f mit f(x) = x 2 + 2x – 1 und g mit g(x) = 3x – 1. Berechne die Schnittpunkte ihrer Graphen. Die Graphen der Funktionen f und g sind {(x 1 x 2 + 2x – 1) ‡ x * R} und {(x 1 3x – 1) ‡ x * R} . Der Durchschnitt dieser zwei Graphen ist die Menge {(x 1 3x – 1) ‡ x * R , x 2 + 2x – 1 = 3x – 1 } . Wir lösen die quadratische Gleichung x 2 + 2x – 1 = 3x ‒1 bzw. x 2 – x = 0 und erhalten x = 0 oder x = 1. Für die zweiten Koordinaten der Schnittpunkte berechnen wir 3z – 1, also 3·0 – 1 = ‒1 und 3·1 – 1 = 2. Daher sind (0 1 ‒1) und (1 1 2) die Schnittpunkte der Graphen von f und g. 89 Bestimme die Schnittpunkte der Graphen der Funktionen f und g. a. f(x) = 1 _ 2 x 2 + 3x – 1 b. f(x) = ‒ x 2 + 5x – 6 c. f(x) = 1 _ 2 x 2 + x – 2 g(x) = 3x ‒ 1 g(x) = 1 _ 2 x ‒ 3 g(x) = ‒ 1 _ 4 x + 4 90 Überprüfe durch Rechnung, ob die Graphen der zwei Funktionen f und g einander schneiden. a. f(x) = x 2 + 2x – 3; g(x) = x + 1 b. f(x) = 1 _ 2 x 2 + 2x + 1; g(x) = 1 _ 2 x – 1 91 Bestimme die Schnittpunkte der Graphen der zwei Funktionen f und g. a. f(x) = x 2 – 2; g(x) = ‒ x 2 + 2 b. f(x) = x 2 + 2x – 1; g(x) = ‒ x 2 + 4 92 Ermittle die Gleichung der Geraden, die den Graphen der Funktion f mit f(x) = x 2 + 2x – 2 in den Punkten (‒ 2 1 ‒ 2) und (2 1 6) schneidet. 93 Begründe, welche Geraden mit dem Graphen der Funktion f mit f(x) = (x – 2) 2 + 1 nur dessen Scheitel gemeinsam haben. 94 Gegeben sind reelle Zahlen p und q. a. Begründe, warum einander die Graphen der quadratischen Funktion f mit f(x) = x 2 + px + q und der linearen Funktion g mit g(x) = px + q stets im Punkt (0 1 q) schneiden. b. Dokumentiere diesen Sachverhalt mit einer DGS, bei der du die Zahlen p und q mithilfe von Schiebereglern veränderbar gestaltest. 95 Löse die Gleichung x 2 + 3x – 2 = k·x + d (k, d * R ) unter den folgenden Bedingungen, indem du I. in einer DGS die Zahlen k und d mit einem Schieberegler veränderst und die Gleichung so interpretierst, als würdest du die erste Komponente des Schnittpunktes der Graphen von f mit f(x) = x 2 + 3x – 2 und von g mit g(x) = kx + d bestimmen; II. die Gleichung „am Papier“ löst. a. Wähle die Zahlen k und d so, dass die Gleichung nur eine einzige Lösung besitzt. b. Wähle die Zahlen k und d so, dass 0 die einzige Lösung dieser Gleichung ist. c. Wähle d = ‒ 3 und bestimme, für welche Zahlen k die Gleichung keine Lösung hat. 96 Löse die Gleichung x 2 – 5x + 3 = k·x + d (k, d * R ) unter den folgenden Bedingungen, indem du I. in einer DGS die Zahlen k und d mit einem Schieberegler veränderst und die Gleichung so interpretierst, als würdest du die erste Komponente des Schnittpunktes der Graphen von f mit f(x) = x 2 – 5x + 3 und von g mit g(x) = kx + d bestimmen; II. die Gleichung „am Papier“ löst. a. Wähle d = ‒ 6 und berechne die Zahl k so, dass die Gleichung genau eine Lösung hat. Berechne dann diese Lösung. b. Wähle die Zahlen k und d so, dass 2 die einzige Lösung dieser Gleichung ist. B ggb/mcd/tcs mg9r36 y 0 x - 3 - 2 -1 1 2 3 1 2 3 - 2 -1 - 3 (0 1 -1) (1 1 2) die Schnittpunkte zweier Graphen berechnen B B, C B B D B, C, D ggb nm428g A, B ggb 7w84js A, B ggb ax59rm Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv