Mathematik HTL 2, Schulbuch

239 7.2 Rechnen mit Matrizen Ist c eine Zahl und A eine m × n-Matrix, dann berechnen wir c·A, das c-Fache von A, indem wir alle Koeffizienten von A mit c multiplizieren. Also ist c·A die m×n-Matrix, deren i-j-ter Koeffizient c·A ij ist, für i = 1, 2, … m und j = 1, 2, … , n. Beispiel: c· 2 A 11 A 12 A 21 A 22 3 = 2 c·A 11 c·A 12 c·A 21 c·A 22 3 Wenn A und B Zeilen oder A und B Spalten sind, dann stimmt die gerade definierte Addition von Matrizen mit der uns schon bekannten Addition von Zeilen oder Spalten überein. Achtung Wir können zwei Matrizen nur dann addieren, wenn sie gleich viele Zeilen und gleich viele Spalten haben. Es gelten dieselben Rechenregeln wie für das Rechnen mit Zeilen oder Spalten. Wir bezeichnen mit A, B und C drei beliebige m×n-Matrizen. Mit c und d bezeichnen wir beliebige Zahlen. Dann gilt: (A + B) + C = A + (B + C) Beim Addieren von Matrizen kommt es auf die Reihenfolge des Addierens nicht an. Klammern können beim Addieren weggelassen werden. A + B = B + A Beim Addieren von Matrizen können die Summanden vertauscht werden. (c·d)·A = c·(d·A) (c + d)·A = c·A + d·A Alle diese Rechenregeln können „koeffizientenweise“ nachgeprüft werden. Dabei benutzt man, dass diese Rechenregeln für das Rechnen mit Zahlen gelten. 1100 Gegeben sind die Matrizen A = 2 5 11 6 ‒1 7 8 10 0 0 1 ‒ 6 22 3 und B = 2 5 3 1 4 ‒ 3 2 ‒ 4 ‒7 7 12 ‒ 6 11 3 . Berechne 3A + B. 3A + B = 3 · 2 5 11 6 ‒1 7 8 10 0 0 1 ‒ 6 22 3 + 2 5 3 1 4 ‒ 3 2 ‒ 4 ‒7 7 12 ‒ 6 11 3 = 2 15 33 18 ‒ 3 21 24 30 0 0 3 ‒18 66 3 + 2 5 3 1 4 ‒ 3 2 ‒ 4 ‒7 7 12 ‒ 6 11 3 = 2 20 36 19 1 18 26 26 ‒7 7 15 ‒ 24 77 3 1101 Gib an, ob man die beiden Matrizen addieren kann. Wenn es möglich ist, addiere sie. a. 2 2 9 4 1 3 8 6 4 3 ; 2 1 3 2 5 4 7 1 1 3 d. 2 1 4 ‒7 0 ‒ 3 8 ‒ 4 9 3 1 ‒ 6 12 3 ; 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 g. 2 1 _ 2 2 _ 3 ‒ 1 _ 5 1 _ 4 3 _ 2 1 _ 3 2 _ 3 ‒ 5 _ 4 3 ; 2 3 _ 2 7 _ 3 2 _ 5 2 _ 4 1 _ 3 ‒ 1 _ 2 4 _ 3 3 _ 8 3 b. 2 8 ‒1 0 1 ‒ 5 0 ‒ 2 3 3 ; 2 0 0 ‒ 2 5 0 2 0 2 3 e. 2 14 7 12 ‒ 9 11 13 3 ; 2 21 3 ‒ 2 0 9 7 3 h. 2 ‒ 1 _ 2 1 _ 3 ‒ 1 _ 4 1 _ 2 ‒ 1 _ 3 3 _ 4 3 ; 2 5 _ 2 5 _ 3 1 _ 5 ‒ 1 _ 4 ‒ 7 _ 2 ‒ 4 _ 3 3 c. 2 4 4 2 1 6 2 0 8 3 ; 2 5 9 1 2 3 4 6 0 2 1 5 1 3 f. 2 11 14 ‒ 9 24 16 5 ‒10 6 11 0 5 ‒7 7 ‒7 7 6 2 8 11 ‒ 2 23 7 ‒1 ‒ 30 5 3 ; 2 22 5 ‒ 23 11 0 1 4 12 3 4 2 4 ‒ 5 6 ‒7 2 ‒1 0 0 14 ‒ 8 9 11 22 ‒ 4 3 Vielfaches einer Matrix Rechenregeln für Matrizen Assoziativ- gesetz Kommutativ- gesetz B mit Matrizen rechnen ggb/xls 6xb8nf B, C Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv