Mathematik HTL 2, Schulbuch

232 Zusammenfassung: Trigonometrie 1068 Der Ausleger eines Druckwasserdrehkrans aus dem Jahre 1899 hat eine untere Länge von 12,60m und ein obere Länge von 13,30m. Der Öffnungswinkel an der Spitze beträgt 30°. Berechne die Längen der Abspannungen, wenn diese jeweils bei einem Drittel der Länge angebracht sind. 1069 Von einem Dreieck sind die Seiten a = 35,1 cm, b = 29,2 cm und der Winkel β = 19° bekannt. Bestimme den Umfang des Dreiecks und seine Fläche. 1070 Welche der Aussagen sind richtig? Begründe. A Die Funktionswerte der Sinusfunktion sind immer größer oder gleich ‒1. B Der Betrag der Funktionswerte der Cosinusfunktion ist nie größer als 1. C Der Betrag der Funktionswerte der Tangensfunktion ist nie größer als 1. D Im Intervall 4 π _ 2 ; 3 π _ 2 5 ist die Sinusfunktion streng monoton fallend. E Im Intervall 4 ‒ π _ 2 ; π _ 2 5 ist die Cosinusfunktion streng monoton wachsend. F Im Intervall 4 ‒ π _ 2 ; π _ 2 5 ist die Tangensfunktion streng monoton wachsend. G Die Sinusfunktion ist eine periodische, gerade Funktion. H Die Cosinusfunktion ist eine gerade Funktion und der Abstand zwischen je zwei ihrer Null- stellen ist k π , wobei k eine ganze Zahl ist. I Die Tangensfunktion ist eine ungerade Funktion mit Nullstellen k π , wobei k eine beliebige ganze Zahl ist. 1071 Im Laufe eines Jahres ändert sich die astronomische Tageslänge (Zeitraum zwischen Sonnen- auf- und Sonnenuntergang). In unseren Breiten beträgt diese zwischen in etwa 8 Stunden (kürzester Tag am 21. Dezember) und 16,5 Stunden (längster Tag am 21.6.). Am 21. März ist die Tageslänge 12,25 Stunden. Wir möchten die Funktion, die jeder natürlichen Zahl t mit 1 ª t ª 365 die Tageslänge am t-ten Tag zuordnet, näherungsweise beschreiben. Da sie periodisch mit Periode 365 ist, liegt es nahe, sie durch eine Funktion f vom Typ f(t) = a·sin 2 2 π _ 365 ·(t – b) 3 + c, zu modellieren, wobei b eine ganze und a und c reelle Zahlen sind. a. Bestimme die Zahlen a, b und c. b. Skizziere den Graphen dieser Funktion so, dass man daraus die Entwicklung der Tageslängen gut ablesen kann. c. Berechne, wie lang der astronomische Tag (näherungsweise) an deinem Geburtstag ist. 1072 Ein Dreieck hat folgende Seitenlängen (siehe Skizze): e = 23 cm, z = 17cm, n = 28 cm Berechne die Winkel ω , σ und τ , sowie die Länge der Höhe auf die Seite n. 1073 Auf einem Kirchturm steht ein 4,5m hohes Kreuz. Vom Boden aus wird das untere Ende des Kreuzes unter einem Winkel von 72° anvisiert, das obere Ende unter einem Winkel von 74°. Bestimme die Höhe des Kirchturms (ohne Kreuz). A, B 13,30m 12,60m 30° A, B D A, B B n z e ċ Ć ą A, B Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv