Mathematik HTL 2, Schulbuch

230 Zusammenfassung Die Fläche eines Dreiecks ist das halbe Produkt von zwei seiner Seitenlängen mal dem Sinus des eingeschlossenen Winkels. Der Quotient Sinus eines Winkels _____ Länge der gegenüberliegenden Seite ist für alle Winkel im Dreieck gleich. Kurz: sin( α ) _ a = sin( β ) _ b = sin( γ ) _ c a 2 = b 2 + c 2 – 2abcos( α ) b 2 = a 2 + b 2 – 2accos( β ) c 2 = a 2 + b 2 – 2abcos( γ ) Für zwei Punkte P und Q auf dem Einheitskreis mit Mittelpunkt S ist der Drehwinkel von P nach Q (oder von der Halbgeraden mit Anfangspunkt S durch den Punkt P zur Halbgeraden mit Anfangspunkt S durch den Punkt Q) die Länge des Kreisbogens, der gegen den Uhrzeigersinn von P nach Q führt. Ein Drehwinkel ist also eine Zahl zwischen 0 und 2 π . Ist α der Drehwinkel von (1 1 0) nach P, dann ist P = (cos( α ) 1 sin( α )). Die Cosinusfunktion cos: R ¥ R , α ¦ cos( α ) und die Sinusfunktion sin: R ¥ R , α ¦ sin( α ), sind 2 π -periodische Funktionen, ihre Funktionswerte liegen zwischen ‒1 und 1. Die Cosinusfunktion ist eine gerade Funktion, die Sinusfunktion ist eine ungerade Funktion. Die Tangensfunktion ist tan: R \ { π _ 2 + k π † k * Z } ¥ R , α ¦ tan( α ) = sin( α ) _ cos( α ) , ist eine π -periodische Funktion, ihre Einschränkung auf 4 ‒ π _ 2 ; π _ 2 5 ist streng monoton wachsend und besitzt eine Umkehr- funktion tan ‒1 : R ¥ 4 ‒ π _ 2 ; π _ 2 5 . Eine Funktion R ¥ R , t ¥ A·sin( ω t + α ), mit vorgegebenen reellen Zahlen A, ω ≠ 0 und α nennen wir eine allgemeine Sinusfunktion und bezeichnen sie kurz mit A·sin( ω x + α ). Sie ist 2 π _ ω -periodisch und beschreibt eine harmonische Schwingung mit Kreisfrequenz ω , Amplitude A und Anfangsphase α . Eine Funktion p von einer Teilmenge A von R nach einer Menge M heißt Parameterdarstellung der Menge M, wenn M = {p(t) ‡ t * A} ist. Die Funktion p: [0; 2 π ) ¥ K, α ¦ (cos( α ), sin( α )), ist eine Parameterdarstellung des Einheitskreises in R 2 . Die komplexe Zahl cos( α ) + sin( α )j hat Betrag 1. Wir bezeichnen sie mit e α j . Der Winkel von 1 nach e α j ist α und heißt Argument von e α j . Jede komplexe Zahl z kann in Polarform z = † z † ·e α j dargestellt werden. Um zwei komplexe Zahlen in Polarform zu multiplizieren, muss man deren Beträge multiplizieren und deren Argumente addieren: (ae α j )(be β j ) = abe j( α + β ) . Eine komplexe Zahl z mit e α j zu multiplizieren, bedeutet z um (0, 0) um den Winkel α gegen den Uhrzeigersinn zu drehen. Für alle reellen Zahlen t ist A·sin( ω t + α ) + B·sin( ω t + β ) = C·sin( ω t + γ ) dabei sind C und γ der Betrag und das Argument der komplexen Zahl A·e α j + B·e β j . das heißt: die Summe von zwei harmonischen Schwingungen mit derselben Kreisfrequenz ω wieder eine harmonische Schwingung mit Kreisfrequenz ω . Trigonome- trische Flächen- formel Sinussatz Cosinussatz Drehwinkel Cosinus- und Sinusfunktion Tangens- funktion allgemeine Sinusfunktion Parameter- darstellung Polarform Summe harmonischer Schwingungen Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv