Mathematik HTL 2, Schulbuch

228 Trigonometrie Auswerten und Darstellen komplexwertiger Funktionen Eine komplexwertige Funktion ist eine Funktion, deren Wertebereich die Menge C ist. Beispiele: f 1 : C ¥ C , z ¦ (1 + j)z f 2 : C ¥ C , z ¦ z 2 f 3 : C ¥ C , z ¦ (3 + 2j)z 2 + (2 – j)z + (1 – j) f 4 : R ¥ C , t ¦ 3e 2tj f 5 : C \{0} ¥ C , z ¦ 1 _ z Tipp Man kann sich beim Auswerten der Funktion f 3 : C ¥ C , z ¦ (3 + 2j)z 2 + (2 – j)z + (1 – j) an der Stelle z eine Multiplikation ersparen, wenn man f 3 (z) als ((3 + 2j)z + (2 – j))z + (1 – j) berechnet: Dafür muss man nur zweimal multiplizieren: (3 + 2j)·z und ((3 + 2j)z + (2j))·z. Der Graph {(z, f(z)) ‡ z * C } einer Funktion f: C ¥ C ist eine Teilmenge von C × C = R 2 × R 2 und kann daher nicht als Teilmenge der Ebene oder des Raumes gezeichnet werden. Man kann aber die Paare (z, f(z)) als Pfeile in der Ebene (mit Schaft z und Spitze f(z)) auffassen und so einige Elemente von des Graphen in der Ebene zeichnen. 1044 Stelle die 7 Elemente (1, 1 + j), (2, 2 + 2j), (j, ‒1 + j), (‒1, ‒1 – j), (‒ j, 1 – j), (1 + j, 2j), (‒1 – j, ‒ 2j) des Graphen von f: C ¥ C , z ¦ (1 + j)z, durch Pfeile in der Ebene dar. Wir schreiben kurz Re(z) und Im(z) für den Realteil und Imaginärteil einer komplexen Zahl z. Mit M bezeichnen wir eine Teilmenge von R , zum Beispiel R oder R + . Zu jeder komplexwertigen Funktion f: M ¥ C erhält man die drei reellwertigen Funktionen † f † : M ¥ R , t ¦ † f(t) † , Re(f): M ¥ R , t ¦ Re(f(t)) und Im(f): M ¥ R , t ¦ Im(f(t)), die jeder reellen Zahl t aus M den Betrag von f(t), den Realteil von f(t) und den Imaginärteil von f(t) zuordnen. Die Graphen dieser Funktionen sind Teilmengen von R × R = R 2 , können also als Teilmengen der Ebene gezeichnet werden. 1045 Zeichne die Graphen der Funktionen † f † , Re(f) und Im(f) für f: R ¥ C , x ¦ 3e 2xj . Es ist † f † : R ¥ R , x ¦ † 3e 2xj † = 3, Re(f): R ¥ R , x ¦ Re(3e 2xj ) = 3cos(2x), und Im(f): R ¥ R , x ¦ Im(3e 2xj ) = 3sin(2x), die Graphen dieser Funktionen sehen so aus: komplex- wertige Funktion B Elemente des Graphen einer komplex- wertigen Funktion zeichnen Re Im 0 - 2 2 1 -1 - 2j - j j 2j B Graphen zeichnen x y 0 1 -1 1 -2 -3 2 3 Ă 2 3 Ă 2 Ă 2 Ă |f| x y 0 1 -1 1 -2 -3 2 3 Ă 2 3 Ă 2 Ă 2 Ă Re(f) x y 0 1 -1 1 -2 -3 2 3 Ă 2 3 Ă 2 Ă 2 Ă Im(f) Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv