Mathematik HTL 2, Schulbuch

227 6.4 Spezielle Anwendungen komplexer Zahlen Frequenzgang Manche elektronische Bauelemente wandeln das durch die Funktion t ¦ A·sin( ω t + α ) beschrie- bene Eingangssignal mit Amplitude A, Kreisfrequenz ω und Anfangsphase α in ein durch eine Funktion t ¦ B( ω )·sin( ω t + β ( ω )) beschriebenes Ausgangssignal mit Amplitude B( ω ), Kreis- frequenz ω und Anfangsphase β ( ω ) um. Man interessiert sich dabei für die Differenz β ( ω ) – α der Anfangsphasen und das Verhältnis B( ω ) _ A der Amplituden. Mithilfe der Polarform komplexer Zahlen können diese zwei Zahlen gut dargestellt werden: Das Eingangssignal A·sin( ω t + α ) ist der Imaginärteil der komplexen Zahl A·e ( ω t + α )j und das Ausgangssignal B( ω )·sin( ω t + β ( ω )) der von B( ω )·e ( ω t + β ( ω ))j . Aus dem Quotienten B( ω )·e ( ω t + β ( ω ))j __ A·e ( ω t + α )j = B( ω ) _ A ·e ( β ( ω ) – α )j können die Zahlen B( ω ) _ A und β ( ω ) – α als sein Betrag und sein Argument leicht abgelesen werden. Die Funktion von R + nach C , die jeder Kreisfrequenz ω die komplexe Zahl B( ω ) _ A ·e ( β ( ω ) – α )j zuordnet, heißt Frequenzgang des betrachteten Bauelements. Diese Funktion wird häufig durch ihr Bild { B( ω ) _ A ·e ( β ( ω ) – α )j † ω * R + } veranschaulicht, diese Menge wird auch Ortskurve des Frequenzgangs genannt. Der Abstand eines Punktes auf der Ortskurve gibt das Amplitudenverhältnis, der Winkel zwischen der x-Achse und der Halbgeraden von 0 durch diesen Punkt gibt die Phasendifferenz wieder. 1041 Das Eingangssignal 2·sin( ω t) wird von einem elektronischen Bauelement in das Ausgangssignal ω ·sin( ω t + ω ) umgewandelt. Berechne den Frequenzgang dieses Bauelements und zeichne seine Ortskurve. Die Amplitude des Eingangssignals ist 2, die Amplitude des Ausgangssignals ist ω und die Phasendifferenz ist ω – 0. Daher ist der Frequenzgang die Funktion von R + nach C , die jeder Kreisfrequenz ω die komplexe Zahl ω _ 2 ·e ω j = ω _ 2 ·cos( ω ) + ω _ 2 ·sin( ω )j = ω _ 2 ·e ω j zuordnet. Seine Ortskurve ist die Menge { ω _ 2 ·e ω j † ω * R + } . 1042 Das Eingangssignal 3·sin( ω t) wird von einem elektronischen Bauelement in das Ausgangssignal e ‒ ω sin( ω t + ω ) umgewandelt. Berechne den Frequenzgang dieses Bauelements. Zeichne 5 Punk- te seiner Ortskurve. 1043 Das Eingangssignal 2·sin( ω t) wird von einem elektronischen Bauelement in das Ausgangssignal (1 + 2 ω )·sin 2 ω t + π _ 2 3 umgewandelt. Berechne den Frequenzgang und zeichne seine Ortskurve. Frequenzgang B Frequenzgang berechnen Im Re - 2 2 2 - 2 - 4 4 4 - 4 0 ċ = 0 ċ = 1 ċ = 5 ċ = 10 A, B A, B Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv