Mathematik HTL 2, Schulbuch

226 Trigonometrie Aus der Elektrotechnik ist bekannt: Werden zwei komplexe Wechselstromwiderstände Z 1 und Z 2 in Serie geschaltet, dann ist der komplexe Wechselstromwiderstand der Schaltung die Summe der einzelnen Wechselstrom- widerstände: Z = Z 1 + Z 2 . Werden sie parallel geschaltet, so gilt für den Widerstand der Schaltung: 1 _ Z = 1 _ Z 1 + 1 _ Z 2 . Der komplexe Wechselstromwiderstand einer Spule mit Induktivität L ist ω Lj. Der komplexe Wechselstromwiderstand eines Kondensators mit Kapazität C ist ‒ j _ ω C . Der komplexe Wechselstromwiderstand eines Ohmschen Widerstands mit R Ohm ist R. 1037 Eine Spule mit Induktivität 0,4H und ein Kondensator mit Kapazität 0,2 μ F sind parallel geschaltet. Dazu ist ein Ohmscher Widerstand mit 80 Ω in Serie geschaltet. Berechne den komplexen Wechselstromwiderstand der Schaltung, wenn der Wechselstrom die Frequenz 50Hz, also die Kreisfrequenz 2 π ·50 hat. Berechne den Scheinwiderstand und die Phasen- differenz von Strom und Spannung. Der komplexe Wechselstromwiderstand der Schaltung ist Z = R + Z’, wobei Z’ der Widerstand der Parallelschaltung des Kondensators und der Spule ist. Es ist 1 _ Z’ = 1 _ j ω L – 1 _ j _ ω C = ‒ j _ ω L + j ω C = 2 ω C – 1 _ ω L 3 j = 2 ω 2 LC – 1 __ ω L 3 j, also Z’ = 2 ω L __ 1 – ω 2 LC 3 j und Z = R + 2 ω L __ 1 – ω 2 LC 3 j. Wegen ω = 100 π , R = 80 Ω , L = 0,4H und C = 0,2 μ F ist Z = 80 + 2 100 π · 0,4 ___ 1 – 10 4 π 2 ·0,4·0,2·10 ‒6 3 j Ω ≈ 80 + 126,66j Ω . Der komplexe Wechselstromwiderstand ist 80 + 126,66 j Ω , der Scheinwiderstand ist 9 _______ 80 2 + 126,66 2 ≈ 149,81 Ω und die Phasendifferenz ist cos ‒1 2 80 _ 149,81 3 ≈ 1,01 rad ≈ 57,72° 1038 Ein Ohmscher Widerstand mit 800 Ω und eine Spule mit 0,1H sind parallel geschaltet. Dazu ist eine weitere Spule mit 0,08H in Serie geschaltet. Berechne den Scheinwiderstand und die Phasendifferenz zwischen Strom und Spannung für einen Wechselstrom mit Kreisfrequenz ω . a. ω = 2 π ·50 b. ω = 2 π ·100 c. ω = 2 π ·200 1039 Ein Ohmscher Widerstand mit 10 Ω , eine Spule mit 0,5H und ein Kondensator mit 2 μ F sind in Serie geschaltet. a. Berechne den Wirkwiderstand und den Blindwiderstand dieser Schaltung für die Kreisfrequenz ω . b. Wähle ω so, dass der Blindwiderstand gleich 0 ist. 1040 Eine Spule mit Induktivität 0,8H und ein Ohmscher Widerstand mit 500Ω sind in Serie geschaltet. a. Berechne den Scheinwiderstand dieser Schaltung und die Phasendifferenz von Spannung und Strom für die Kreisfrequenz 2π·50. b. Wird diese Phasendifferenz größer oder kleiner, wenn man den Ohmschen Widerstand ver- doppelt? Begründe ohne Rechnung. B R L C den komplexen Wechselstrom- widerstand, den Schein- widerstand und die Phasen- differenz berechnen A, B L 2 L 1 R A, B R L C A, B Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv