Mathematik HTL 2, Schulbuch

225 6.4 Spezielle Anwendungen komplexer Zahlen 1030 Berechne die Amplitude A und die Phasenverschiebung c der Summe von harmonischen Schwingungen mit der Kreisfrequenz ω . Skizziere den Graphen dieser Funktion für ω = 1. a. sin 2 ω t – π _ 2 3 + 2·sin 2 ω t + π _ 4 3 d. 2·sin 2 ω t + 3 π _ 4 3 + sin 2 ω t – 4 π _ 3 3 b. 2·sin 2 ω t – π _ 4 3 – 3·sin 2 ω t + π _ 3 3 e. 4·sin 2 ω t – π _ 2 3 – 1 _ 2 ·sin 2 ω t – π _ 3 3 c. 2·sin 2 ω t + π _ 3 3 + 4·sin 2 ω t + π _ 2 3 f. 1 _ 2 ·sin 2 ω t + π _ 2 3 + 2·sin 2 ω t + π _ 5 3 1031 Berechne die Amplitude A und die Phasenverschiebung c der Summe von harmonischen Schwingungen mit der Kreisfrequenz ω . Skizziere den Graphen dieser Funktion für ω = 1. a. 2·sin 2 ω t – π _ 3 3 + 5·cos 2 ω t + π _ 2 3 c. 4·sin 2 ω t – 3 π _ 4 3 + 3·cos 2 ω t + 4 π _ 3 3 b. 3·cos 2 ω t – π _ 4 3 – 4·sin 2 ω t + π _ 6 3 d. 5·cos 2 ω t – π _ 2 3 – 2·sin 2 ω t + 2 π _ 3 3 1032 Konstruiere die Amplitude und die Phasenverschiebung der Summe der beiden harmonischen Schwingungen. a. 5·sin( ω t – 0,4) + 3·sin( ω t + 1,5) c. 3·sin( ω t + 2) + 4·sin( ω t + 0,3) b. 4·sin( ω t + 1) + 2·sin( ω t – 0,5) d. 5·cos( ω t – 1,7) – 3·sin( ω t + 0,9) 1033 Zeige mithilfe eines Zeigerdiagramms, dass gilt: sin 2 ω t – π _ 2 3 + sin 2 ω t + π _ 2 3 = 0 1034 Zur harmonischen Schwingung s 1 (t) = 4sin 2 ω t + π _ 2 3 soll eine Schwingung s 2 (t) der gleichen Frequenz addiert werden, so dass die Summe der beiden Schwingungen a. s(t) = 2sin( ω t), b. s(t) = 5sin 2 ω t + π _ 3 3 ergibt. Konstruiere die Amplitude B und die Phasenverschiebung β der gesuchten Schwingung. 1035 Berechne die Summe der Sinusfunktion und der Cosinusfunktion mithilfe eines Zeiger- diagramms. Hinweis: Die Anfangsphase α der ersten Schwingung ist 0. Überlege dir, mithilfe welcher Anfangsphase β du die Cosinusfunktion als Sinusfunktion anschreiben kannst. 1036 Beobachtet einen Zeiger so, dass ihr die Ebene, in der er sich dreht, wie eine Gerade seht. Den Zeiger kann man durch eine Schnur, an der ein Ring angebunden ist, und die gleichmäßig im Kreis geschwungen wird, darstellen. Der Mittelpunkt des Kreises sollte in Augenhöhe sein. Ihr seht, dass die Zeigerspitze periodisch nach oben und nach unten gehen. Diskutiert und begründet, warum man den Eindruck hat, dass sich der Ring langsamer als in der Mitte bewegt, wenn er ganz oben oder ganz unten ist. Komplexe Wechselstromwiderstände Die Spannung U(t) und die Stromstärke I(t) eines Wechselstroms zur Zeit t mit Kreisfrequenz ω werden durch U(t) = U 0 sin( ω t + α ) und I(t) = I 0 sin( ω t + β ) beschrieben. U(t) und I(t) sind die Imaginärteile von u(t) = U 0 e ( ω t + α )j und i(t) = I 0 e ( ω t + β )j . Deren Quotient u(t) _ i(t) = U 0 _ I 0 e ( α – β )j ist für alle t dieselbe Zahl. Sie heißt komplexer Wechselstromwiderstand und wird mit Z = Z·e φ j bezeichnet. Ihr Argument φ ist die Phasendifferenz von Spannung und Strom. Der Betrag Z des komplexen Wechselstromwiderstandes Z heißt Scheinwiderstand . Sein Realteil heißt Wirkwiderstand und wird mit R bezeichnet, sein Imaginärteil heißt Blindwiderstand und wird mit X bezeichnet. Also: Z = R + Xj = Z·e φ j . B B B D B B D komplexer Wechselstrom- widerstand Schein- widerstand Wirkwiderstand Blind- widerstand Nur zu Prüfzwecken – Eige tum des Verlags öbv