Mathematik HTL 2, Schulbuch

224 Trigonometrie Für alle reellen Zahlen t ist A·sin( ω t + α ) + B·sin( ω t + β ) = C·sin( ω t + γ ), also ist die Summe von zwei harmonischen Schwingungen mit derselben Kreisfrequenz ω wieder eine harmonische Schwingung mit Kreisfrequenz ω . Deren Amplitude A und Anfangs- phase γ sind der Betrag und das Argument von A·e j α + B·e j β = (A·cos( α ) + B·cos( β )) + (A·sin( α ) + B·sin( β ))j. Wir berechnen nun die Polardarstellung dieser Zahl. Ihr Betrag ist C = 9 ________________________ (A·cos( α ) + B·cos( β )) 2 + (A·sin( α ) + B·sin( β )) 2 . Für die Anfangsphase γ gilt sin( γ ) = A·sin( α ) + B·sin( β ) und cos( γ ) = A·cos( α ) + B·cos( β ) Also ist γ = cos ‒1 (A·cos( α ) + B·cos( β )), wenn A·sin( α ) + B·sin( β ) º 0 ist und γ = 2 π – cos ‒1 (A·cos( α ) + B·cos( β )), wenn A·sin( α ) + B·sin( β ) < 0 ist. 1028 Berechne reelle Zahlen C und γ so, dass für alle reellen Zahlen t 3·sin 2 ω t – π _ 4 3 + 4·sin 2 ω t + 2 π _ 3 3 = C·sin( ω t + γ ) ist. Die Polardarstellung von 2 3·cos 2 ‒ π _ 4 3 + 4·cos 2 2 π _ 3 3 3 + 2 3·sin 2 ‒ π _ 4 3 + 4·sin 2 2 π _ 3 3 3 j = 2 3 _ 2 9 _ 2 – 2 3 + 2 ‒ 3 _ 2 9 _ 2 + 2 9 _ 3 3 j ist C·e γ j , wobei C = 9 _______________ 2 3 _ 2 · 9 _ 2 – 2 3 2 + 2 ‒ 3 _ 2 · 9 _ 2 + 2 9 _ 3 3 2 ≈ 1,3483 ist und γ so zu wählen ist, dass C·sin( γ ) = ‒ 3 _ 2 9 _ 2 + 2 9 _ 3 und C·cos( γ ) = 2 3 _ 2 9 _ 2 – 2 3 ≈ 0,1213 ist. Weil sin( γ ) > 0 ist, ist 0 < γ < π . Mit dem Taschenrechner berechnen wir γ = cos ‒1 2 0,1213 _ 1,3483 3 ≈ 1,4807. Daher ist für alle reellen Zahlen t 3·sin 2 ω t – π _ 4 3 + 4·sin 2 ω t + 2 π _ 3 3 ≈ 1,3483·sin( ω t + 1,4807). Für viele Abschätzungen reicht es, sich die Zeiger in ein Koordinatensystem zu zeichnen und wie Ortsvektoren zu addieren: 1029 Konstruiere die Amplitude und die Anfangsphase der Summe 4·sin( ω t + 1,2) + 3·sin( ω t – 0,4) von harmonischen Schwingungen mit der Kreisfrequenz ω . Zunächst rechnen wir die Anfangsphasen ins Gradmaß um: α = 1,2 _ π ·180° ≈ 69°, β = ‒ 0,4 _ π ·180° ≈ ‒ 32° Jetzt zeichnen wir die beiden Zeiger in ein Koordinatensystem und konstruieren die Summe der beiden Zeiger: Die Länge der Summe der zwei Zeiger ist die Amplitude C ≈ 4,9, der Winkel zwischen x-Achse und dem Summenzeiger ist die Anfangsphase γ ≈ 31°. Das ist im Bogenmaß 31° _ 180° · π ≈ 0,54. Daher ist 4·sin( ω t + 1,2) + 3·sin( ω t – 0,4) = 4,9·sin( ω t + 0,54). ggb x6t36e Summe harmonischer Schwingungen B Amplitude und Anfangsphase der Summe harmonischer Schwingungen berechnen A, B Amplitude und Anfangsphase der Summe harmonischer Schwingungen berechnen x y 0 3 4 2 1 3 2 1 -1 4 a 1 õ a 2 a = 4,9 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv