Mathematik HTL 2, Schulbuch

223 6.4 Spezielle Anwendungen komplexer Zahlen Ich lerne mithilfe der Zeigerrechnung die Summe gleichfrequenter Sinusfunktionen zu bestimmen. Ich lerne den komplexen Wechselstromwiderstand einer Schaltung aus Ohmschen Widerständen, Kondensatoren und Spulen berechnen. Ich lerne den Frequenzgang gewisser elektronischer Bauelemente zu berechnen. Ich lerne komplexwertige Funktionen auszuwerten und darzustellen. Summen gleichfrequenter Sinusfunktionen (Zeigerrechnung) Ein Zeiger, zum Beispiel der Sekundenzeiger einer Uhr, der Länge Acm dreht sich in einer Ebene gleichmäßig um einen Punkt. Pro Sekunde dreht er sich 1 _ 60 -mal um den Kreis und durchläuft dabei den Winkel ω = 2 π _ 60 . Wir wählen ein rechtwinkeliges Koordinatensystem (mit Längeneinheit 1 cm) und fassen die Ebene als R 2 auf. Wir nehmen an, dass sich der Zeiger um den Nullpunkt (0, 0) dreht. Die Spitze des Zeigers liegt zur Zeit 0 auf einem Punkt des Kreises mit Mittelpunkt (0, 0) und Radius A, kann also durch ein Zahlenpaar (A·cos( α ), A·sin( α )) beschrieben werden. Nach t Sekunden befindet sich die Spitze des Zeigers dann im Punkt (A·cos( ω t + α ), A·sin( ω t + α )). Die Funktion, die jeder Zahl t den Abstand der Zeigerspitze nach t Sekunden von der ersten Koordinatenachse zuordnet, ist daher R ¥ R , t ¦ A·sin( ω t + α ). Diese Funktion beschreibt eine harmonische Schwingung mit Kreisfrequenz ω , Amplitude A und Anfangsphase α . Wenn wir R 2 als Menge der komplexen Zahlen C betrachten, können wir die Position (A·cos( ω t + α ), A·sin( ω t + α )) der Zeigerspitze nach t Sekunden in Polarkoordinaten durch A·e ( ω t + α )j beschreiben. Es ist A·e ( ω t + α )j = A·e α j ·e ω tj , dabei beschreibt A·e α j die Position der Zeigerspitze zur Zeit 0. Nehmen wir an, es drehen sich zwei Zeiger mit derselben Kreisfrequenz um denselben Punkt, aber mit eventuell verschiedenen Längen A und B und verschiedenen Anfangsphasen α und β . Deren Positionen nach t Sekunden sind dann A·e ( ω t + α )j und B·e ( ω t + β )j . Die Summe davon ist A·e ( ω t + α )j + B·e ( ω t + β )j = (A·e α j + B·e β j )e ω tj = C·e γ j ·e ω tj = C·e ( ω t + γ )j , wobei C·e γ j die Polardarstellung von A·e α j + B·e β j = A·cos( α ) + B·cos( β ) + (A·sin( α ) + B·sin( β ))j ist. Die Summe der Imaginärteile von zwei komplexen Zahlen ist der Imaginärteil der Summe dieser zwei Zahlen. Die Imaginärteile von A·e ( ω t + α )j und B·e ( ω t + β )j sind A·sin( ω t + α ) und B·sin( ω t + β ), der Imaginärteil der Summe A·e ( ω t + α )j + B·e ( ω t + β )j = C·e ( ω t + γ )j ist C·sin( ω t + γ ). Damit haben wir gezeigt: t Re Im 0 1 -1 1 -2 2 Ă 2 3 Ă 2 Ă 2 Ă A ∙ sin( ċ t + ó ) ó A Nur zu Prüfzwecke – Eigentum des Verlags öbv