Mathematik HTL 2, Schulbuch

221 6.3 Komplexe Zahlen (geometrische Interpretation) Tipp Das können wir verwenden, um in der Ebene um den Punkt (0, 0) zu drehen: Wenn wir einen Punkt P = (x, y) um den Nullpunkt gegen den Uhrzeigersinn um den Winkel α drehen wollen, brauchen wir ihn nur als komplexe Zahl x + yj auffassen und mit e α j zu multiplizieren. Der Winkel von P nach e α j ·P ist dann α . 1009 Bestimme, welche Eckpunkte das Dreieck mit Eckpunkten 1 + j, 2j und ‒1 – j hat, nachdem es um den Nullpunkt gegen den Uhrzeigersinn um 90° gedreht wurde. Es ist 90° = π _ 2 , daher erhalten wir die Eckpunkte des gedrehten Dreiecks, indem wir 1 + j, 2j und ‒1 – j jeweils mit e π _ 2 j = j multiplizieren: j·(1 + j) = ‒1 + j j·2j = ‒ 2 j·(‒1 – j) = 1 – j 1010 Berechne eine komplexe Zahl z, deren Quadrat gleich 1 + j ist, also eine „Quadratwurzel aus 1 + j“. Wir schreiben dazu 1 + j in Polarform an. Der Betrag von 1 + j ist 9 _ 2, und der Winkel von 1 zu 1 + j ist π _ 4 . Also ist 1 + j = 9 _ 2·e π _ 4 j . Wir suchen eine komplexe Zahl z = † z † ·e α j mit † z † 2 ·e 2 α j = z 2 = 1 + j = 9 _ 2e π _ 4 j . Also wählen wir eine positive reelle Zahl † z † und α so, dass † z † 2 = 9 _ 2 und 2 α = π _ 4 ist. Daher ist † z † = 4 9 _ 2 und α = π _ 8 . Die Zahl z = 4 9 _ 2e π _ 8 j = 4 9 _ 2 2 cos 2 π _ 8 3 + sin 2 π _ 8 3 j 3 hat also die Eigenschaft z 2 = 1 + j. Die zweite Zahl mit dieser Eigenschaft ist ‒ z = e π j z = 4 9 _ 2e 9 π _ 8 j. 1011 Führe die Zahlen z 1 und z 2 in Polardarstellung über und berechne dann z 1 ·z 2 . a. z 1 = ‒1 + j z 2 = 2 c. z 1 = ‒ 3 + 3j z 2 = ‒ 2 + j e. z 1 = 2 2, ‒ 1 _ 4 3 z 2 = (2, ‒ 2) b. z 1 = (0, 1) z 2 = (2, 0) d. z 1 = ‒ 1 _ 3 – j z 2 = 1 _ 3 j f. z 1 = 4 + 3j z 2 = ‒ 2 – 5j 1012 Dokumentiere, wie man zwei komplexe Zahlen in Polarform dividiert. 1013 Berechne die Polarform des Quotienten u _ v , wobei u = 2e π _ 4 j und v = 5e 3 π _ 4 j ist. 1014 Übertrage die Zahlen z 1 und z 2 in Polardarstellung und berechne dann z 1 _ z 2 . a. z 1 = 1 – j z 2 = ‒ 4 c. z 1 = 2 + 3j z 2 = ‒1 + j e. z 1 = ‒ 1 _ 4 + j z 2 = 1 _ 2 j b. z 1 = (0, 2) z 2 = (3, 0) d. z 1 = 2 ‒ 1 _ 2 , ‒ 2 3 z 2 = 2 ‒ 1 _ 2 , 1 3 f. z 1 = 2 ‒ 3, ‒ 1 _ 3 3 z 2 = (‒1, ‒1) 1015 Berechne die Polardarstellung der angegebenen Summen, Differenzen, Produkte und Quotienten von komplexen Zahlen. z 1 = e π j , z 2 = e ‒ π j , z 3 = e π _ 2 j , z 4 = e π _ 3 j , z 5 = e ‒ π _ 4 j a. z 1 + z 2 = c. z 1 ·z 2 = e. z 1 ·z 4 = g. z 1 ·z 3 ·z 4 = i. z 1 _ z 4 = b. z 1 – z 3 = d. z 1 ·z 3 = f. z 1 ·z 5 = h. z 1 _ z 2 = j. z 2 _ z 5 = B Im Re 1 j um den Nullpunkt drehen B ggb kj34ff die Wurzel einer komplexen Zahl berechnen B C B B B Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv