Mathematik HTL 2, Schulbuch

220 Trigonometrie  Der Betrag von j ist 1, das Argument von j ist die Zahl α mit 0 ª α < 2 π , cos( α ) = 0 und sin( α ) = 1. Daher ist α = π _ 2 und die Polarform von j ist e π _ 2 j . 1002 Gib die komplexe Zahl z = 2 – 5j in Polardarstellung an. Der Betrag von z ist † z † = 9 _____ 2 2 + (‒ 5) 2 = 9 __ 29. Das Argument ist die eindeutig bestimmte Zahl α zwischen 0 und 2 π mit der Eigenschaft cos( α ) = 2 _ 9 __ 29 und sin( α ) = ‒5 _ 9 __ 29 . Weil sin( α ) negativ ist, liegt α zwischen π und 2 π . Wenn wir mit einem Taschenrechner oder CAS diese Zahl näherungsweise bestimmen wollen, dann verwenden wir den Befehl, der fast immer mit arccos 2 2 _ 9 __ 29 3 oder cos ‒1 2 2 _ 9 __ 29 3 bezeichnet wird und bekommen den Winkel β ≈ 1,1903 zwischen 0 und π mit cos( β ) ≈ 2 _ 9 __ 29 . Wegen cos(2 π – β ) = cos( β ) und π < 2 π – β ª 2 π ist der gesuchte Winkel α = 2 π – β ≈ 2 π – 1,1903 ≈ 5,0929. Daher ist z ≈ 9 __ 29e 5,0929j ≈ 5,3852e 5,0929j . 1003 Bestimme die Polarform. a. ‒1 b. ‒ j c. 1 + j d. 1 – j 1004 Berechne Real- und Imaginärteil von 3·e π _ 3 j und von 2·e 2 π _ 3 j . 1005 Welche komplexe Zahl hat die Polarform 2e π _ 4 j ? A 9 _ 2 + 9 _ 2 j B 1 + 9 _ 3 j C 1 _ 2 + 9 _ 3 _ 2 j D 1 + π _ 8 j 1006 Gib die komplexe Zahl in Polardarstellung an. a. 2 + j c. 3 + 2j e. (1, 0) g. (1, 4) b. 1 _ 2 d. 3 _ 2 j f. (‒ 4, ‒ 2) h. (0, ‒ 4) 1007 Gib die zur gegebenen Zahl konjugiert komplexe Zahl in Polardarstellung an. a. ‒ 4j c. ‒ 4 + 5j e. (3, 0) g. (0, ‒ 2) b. ‒1 + 2j d. 1 + 3j f. (‒1, 5) h. (2, ‒ 3) 1008 Berechne den Real- und Imaginärteil der komplexen Zahl. a. e j π b. 1 _ 2 e j π _ 2 c. 3e j π _ 3 d. e ‒ j π _ 4 Multiplikation komplexer Zahlen Die Polarform von komplexen Zahlen ermöglicht uns eine geometrische Deutung der Multiplikation von komplexen Zahlen. Das Produkt von zwei komplexen Zahlen y = † y † e α j und z = † z † e β j in Polarform ist die komplexe Zahl mit Betrag † y † · † z † und Argument α + β : y·z = † y † · † z † ·e ( α + β )j In Worten: Um zwei komplexe Zahlen zu multiplizieren, muss man ihre Beträge multiplizieren und ihre Argumente addieren. Für † y † = 1 erhält man: Multipliziert man z mit e α j , dann wird z auf dem Kreis um (0, 0) mit Radius † z † gegen den Uhrzeigersinn um den Winkel α gedreht. B ggb 4s8wy8 Polardarstel- lung einer komplexen Zahl angeben B B B B B B ggb im8nu5 Produkt komplexer Zahlen in Polarform ó Im Re 1 j y ∙ z z y ô ó + ô Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv