Mathematik HTL 2, Schulbuch

219 6.3 Komplexe Zahlen (geometrische Interpretation) Ich lerne eine komplexe Zahl aus der Darstellung durch Real- und Imaginärteil in die Polarform umzurechnen und umgekehrt. Ich kann die Multiplikation von komplexen Zahlen geometrisch interpretieren und damit Aufgaben lösen. Polarform In Kapitel 1 haben wir komplexe Zahlen als Paare von reellen Zahlen kennengelernt, die komponentenweise addiert, aber auf andere Weise multipliziert werden. Dabei sollte j 2 = ‒1 sein, wobei j = (0, 1) und 1 = (1, 0) ist. Mit der Schreibweise a + bj für (a, b) und c + dj für (c, d) ist die Definition des Produkts leicht zu merken: (a + bj)·(c + dj) = ac – bd + (ad + bc)j. Den Betrag † z † einer komplexen Zahl z = a + bj definieren wir als Abstand zwischen (a, b) und (0, 0), also † z † = 9 ____ a 2 + b 2 . Die Menge der komplexen Zahlen vom Betrag 1 ist dann der Einheitskreis. Für jede reelle Zahl α schreiben wir e α j = cos( α ) + sin( α )j = (cos( α ), sin( α )) (sprich: „e hoch α j“). Wegen cos( α ) 2 + sin( α ) 2 = 1 hat diese komplexe Zahl den Betrag 1 und α ist der Winkel von 1 nach e α j . Die zu e α j konjugiert komplexe Zahl ist cos( α ) – sin( α )j = cos(‒ α ) + sin(‒ α )·j = e ‒ α j . Für reelle Zahlen α , β ist e α j ·e β j = (cos( α ) + sin( α )j)·(cos( β ) + sin( β )j) = = cos( α )·cos( β ) – sin( α )·sin( β ) + (sin( α )·cos( β ) + sin( α )·cos( β ))j = = cos( α + β ) + sin( α + β )j = e ( α + β )j Also: Multiplizieren wir zwei komplexe Zahlen am Einheitskreis, so erhalten wir wieder eine komplexe Zahl am Einheitskreis und der Winkel von 1 nach dem Produkt der Zahlen ist die Summe der entsprechenden Winkel der Faktoren. Für jede von 0 verschiedene komplexe Zahl z ist z _ † z † eine komplexe Zahl mit Betrag 1. Diese kann als e α j geschrieben werden, dabei ist α der Winkel von 1 nach z _ † z † . Wir erhalten daher die Polarform von z: z = † z † e α j . Die Zahl α heißt Argument von z . Beispiele:  Der Betrag von 3 + 4j ist 9 ____ 3 2 + 4 2 = 5. Das Argument ist die Zahl α mit 0 ª α < 2 π , cos( α ) = 3 _ 5 und sin( α ) = 4 _ 5 . Da sin( α ) positiv ist, ist 0 < α < π , also ist α durch cos( α ) = 3 _ 5 eindeutig festgelegt. Daher ist α ≈ 0,93 und die Polarform von z ist daher (gerundet) 5·e 0,93j . Betrag einer komplexen Zahl ggb q3a54g ó ó e ó j e - ó j 1 Im Re j ggb 2cj6d2 Multiplikation am Einheits- kreis ó e ó j 1 Im z Re j Polarform Argument Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv