Mathematik HTL 2, Schulbuch

217 6.2 Die Sinus-, Cosinus- und Tangensfunktion Es ist also K = {(cos( α ) 1 sin( α )) * R 2 ‡ 0 ª α < 2 π }. Für jede Zahl α mit 0 ª α < 2 π kann damit leicht ein Punkt des Einheitskreises berechnet werden. Wir betrachten eine Teilmenge A von R , zum Beispiel R selbst oder ein Intervall, und eine Menge M. Eine Funktion p von A nach M (oder nach einer Menge, die M enthält) heißt Parameterdarstellung der Menge M, wenn M = {p(t) ‡ t * A} also die Menge aller Funktionswerte von p ist. Achtung Die Menge {p(t) ‡ t * A} darf nicht mit dem Graphen von p verwechselt werden, denn dieser ist {(t 1 p(t)) ‡ t * A}. Der Vorteil einer Parameterdarstellung ist, dass wir durch Wahl vieler Zahlen im Definitions- bereich viele Elemente der Menge M berechnen können und dann zum Beispiel eine gute Skizze von M anfertigen können. Beispiele für Parameterdarstellungen:  Eine Parameterdarstellung des Einheitskreises K in R 2 ist zum Beispiel p: [0; 2 π ) ¥ K, α ¦ (cos( α ) 1 sin( α )). Der Graph von p ist hingegen {( α , cos( α ) 1 sin( α )) * R 3 ‡ 0 ª α < 2 π }, eine Teilmenge des Raumes.  Eine andere Parameterdarstellung des Einheitskreises ist p: [0; π ) ¥ K, α ¦ (cos(2 α ) 1 sin(2 α )).  Eine Parameterdarstellung der Geraden {(1 1 2) + c·(3 1 1) ‡ c * R } ist zum Beispiel p: R ¥ R 2 , t ¦ (1 + 3t 1 2 + t).  Wenn f: R ¥ R , t ¦ f(t) eine Funktion ist, dann ist ihr Graph eine Teilmenge von R 2 . Eine Parameterdarstellung dieses Graphen ist p: R ¥ R , t ¦ (t 1 f(t)). Zum Beispiel ist p: R ¥ R , t ¦ (t 1 t 2 ) die Parameterdarstellung der Parabel mit Brennpunkt 2 0 1 1 _ 4 3 und Leitlinie { 2 0 1 ‒ 1 _ 4 3 + c(1 1 0) † c * R } . 996 Skizziere die Menge. a. p: [0; 2 π ) ¥ R 2 , α ¦ (2cos( α ) 1 sin( α )) f. p: R ¥ R 2 , t ¦ (t 1 t 2 ) b. p: [0; 2 π ) ¥ R 2 , α ¦ (cos( α ) 1 2sin( α )) g. p: R ¥ R 2 , t ¦ (t 2 1 t) c. p: [0; 2 π ) ¥ R 2 , α ¦ (2cos( α ) 1 2sin( α )) h. p: R ¥ R 2 , t ¦ (t 1 3t 2 + 1) d. p: [0; 2 π ) ¥ R 2 , α ¦ (cos( α ) + 3 1 sin( α ) + 4) i. p: R ¥ R 2 , t ¦ (t + 2 1 3t 2 + 1) e. p: [0; 2 π ) ¥ R 2 , α ¦ (3cos( α ) – 1 1 3sin( α ) + 1) j. p: R ¥ R 2 , t ¦ (t 1 t 3 ) 997 Um dir mithilfe einer DGS zu veranschaulichen, wie zum Beispiel die Kurve p: [0; 4 π ] ¥ R 2 , t ¦ (t·sin(t) 1 t·cos(t)) in Parameterform entsteht, kannst du wie folgt vorgehen: Erstelle zunächst einen Schieberegler für den Parameter t. Als Minimum und Maximum nimmst du die jeweiligen Grenzen des Definitionsintervalls, also 0 und 4 π . Anschließend gibst du in der Eingabezeile die Formel P = (t·sin(t) 1 t·cos(t)) ein. Bewegst du jetzt den Schieberegler, kannst du sehen, wie der Punkt P über den Zeichenbereich wandert. Um den Verlauf der Kurve besser zu erkennen, solltest du die „Spur“ aktivieren. Stelle auf diese Art die folgende Kurve dar und dokumentiere deine Grafik mithilfe eines Screenshots. a. p: [0; 4 π ] ¥ R 2 , t ¦ 2 t _ 2 ·sin(t) 1 t _ 4 ·cos(t) 3 b. p: [0; 2 π ] ¥ R 2 , t ¦ (4cos(t) 1 3sin(2t)) Parameter- darstellung B B, C Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv