Mathematik HTL 2, Schulbuch

216 Trigonometrie 994 Sucht man für ein Pendel nach einem Zusammenhang zwischen der Zeit und der Auslenkung aus der Ruhelage, so findet man (vorausgesetzt das Pendel wird nicht zu weit aus der Ruhelage aus- gelenkt): Die Auslenkung y(t) des Pendels von der Ruhelage zur Zeit t ist A·sin( ω ·t) für geeignete Zahlen A und ω . Dabei wird angenommen, dass das Pendel zur Zeit 0 in der Ruhelage ist. Die Schwingungsdauer ist T mit T( ® ) = 2 π · 9 _ ® _ g , wobei ® die Länge des Pendels in Meter ist und g die Fallbeschleunigung ist (auf der Erde: g ≈ 9,81m/s 2 ). Die Frequenz ist f = 1 _ T und die Kreisfrequenz ist ω = 2 π ·f = 9 _ g _ ø . Die Amplitude ist die maximale Auslenkung aus der Ruhelage. a. Berechne die Schwingungsdauer für ein 2m langes Pendel. b. Bestimme die Funktion y für ein 2m langes Pendel, welches 10 cm aus der Ruhelage aus- gelenkt wird, und stelle den Graphen der Funktion y über dem Intervall [0; 10] in einem Koordinatensystem dar. c. Ermittle, welche Länge ein Pendel haben muss, damit seine Schwingungsdauer genau eine Sekunde beträgt. d. Wäre die Schwingungsdauer eines Pendels am Mond kürzer oder länger als auf der Erde (Fallbeschleunigung am Mond: g ≈ 1,6m/s 2 )? Begründe. e. Bestimme, wie lange die Schwingungsdauer eines Pendels, das auf der Erde eine Perioden- länge von 2 Sekunden hat, auf dem Mond wäre. Parameterdarstellung Wir nehmen an, dass wir ein rechtwinkeliges Koordinatensystem in der Ebene gewählt haben und schreiben deren Punkte als Zahlenpaare an. Der Einheitskreis in der Ebene ist die Menge aller Punkte, deren Abstand zu (0 1 0) gleich 1 ist, also die Menge K = { (x 1 y) * R 2 † 9 ____ x 2 + y 2 = 1 } . Weil x 2 + y 2 nicht negativ sein kann, ist K auch gleich {(x 1 y) * R 2 ‡ x 2 + y 2 = 1}, also die Lösungsmenge der Gleichung x 2 + y 2 = 1. Die Gleichung x 2 + y 2 = 1 nennen wir die implizite Form des Einheitskreises . Die implizite Form ist vorteilhaft, wenn wir zum Beispiel überprüfen wollen, ob ein Punkt auf dem Einheitskreis liegt: Wir müssen dann nur die Summe der Quadrate seiner Koordinaten berechnen. Ist diese 1, liegt der Punkt auf dem Kreis, sonst nicht. 995 Untersuche, ob die Punkte 2 3 _ 5 1 ‒ 4 _ 5 3 und 2 1 _ 2 1 3 _ 4 3 auf dem Einheitskreis liegen. Wir erhalten für 2 3 _ 5 1 ‒ 4 _ 5 3 und 2 1 _ 2 1 3 _ 4 3 2 3 _ 5 3 2 + 2 ‒ 4 _ 5 3 2 = 1 und 2 1 _ 2 3 2 + 2 3 _ 4 3 2 ≠ 1, also ist 2 3 _ 5 1 ‒ 4 _ 5 3 ein Punkt des Einheitskreises, 2 1 _ 2 1 3 _ 4 3 aber nicht. Wenn wir aber viele Punkte des Kreises anschreiben wollen, ist diese Darstellung nicht so günstig. Dafür nützen wir eine andere Darstellung, die wir bereits kennen: Jeder Punkt von K kann in der Form (cos( α ) 1 sin( α )) geschrieben werden, dabei ist α der Winkel von (1 1 0) zu diesem Punkt, das heißt, die Länge des Bogens, der gegen den Uhrzeigersinn von (1 1 0) zu diesem Punkt läuft. B, D implizite Form des Einheits- kreises C untersuchen, ob Punkte am Einheitskreis liegen Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv