Mathematik HTL 2, Schulbuch

215 6.2 Die Sinus-, Cosinus- und Tangensfunktion 990 Ein Kind sitzt auf einer Schaukel. Sein Vater zieht die Schaukel zu sich heran, sodass die maximale Auslenkung aus der Ruhe- lage A = 1,2m beträgt und lässt die Schaukel los. Nach genau 3 Sekunden ist das Kind genau einmal hin und zurück geschaukelt. a. Die Funktion s ordnet der Zeit t in Sekunden die Aus- lenkung s(t) aus der Ruhelage in Meter zu. Wir nehmen an, dass sie eine allgemeine Sinusfunktion ist. Bestimme Amplitude, Periodenlänge und Anfangsphase von s und zeichne den Graphen der Funktion. b. Wer bereits selbst auf einer Schaukel gesessen ist, weiß, dass eine Schaukel ihre maximale Geschwindigkeit an ihrem tiefsten Punkt erreicht. Das ist dann der Fall, wenn die Auslenkung aus der Ruhelage s(t) = 0 ist. Berechne, zu welchen Zeitpunkt t die Schaukel das erste Mal ihre maximale Geschwindigkeit erreicht hat. a. Die Periodenlänge ist 3 Sekunden und die Amplitude beträgt 1,2m. Da die Schaukel aber zum Zeitpunkt t = 0 bereits die maximale Auslenkung erreicht hat, ist es vorteilhaft, anstelle der Sinusfunktion die Cosinusfunktion zu verwenden. Die gesucht Funktion lautet daher s(t) = 1,2·cos 2 2 π _ 3 ·t 3 . Ihr Graph sieht so aus: b. Die kleinste positive Zahl u mit cos(u) = 0 ist π _ 2 . Daher gilt für die kleinste positive Nullstelle t von s: 2 π _ 3 ·t = π _ 2 . Also ist t = 3 _ 4 bzw. t = 0,75 s. 991 Eine lange Schaukel wird 1,5 Meter aus der Ruhelage ausgelenkt und dann losgelassen. Nach genau 3,5 Sekunden ist sie wieder zurück zum Ausgangspunkt geschaukelt. a. Wir nehmen an, dass die Funktion s, die der Zeit t in Sekunden die Auslenkung s(t) der Schaukel aus der Ruhelage in Meter zuordnet, eine allgemeine Sinusfunktion ist. Bestimme die Amplitude, die Periodenlänge und die Phasenverschiebung von s. b. Gib an, zu welchen Zeitpunkt t die Schaukel das erste Mal ihre maximale Geschwindigkeit erreicht hat. 992 Ein Federpendel wird 30cm aus der Ruhelage ausgedehnt und vollführt daraufhin eine harmoni- sche Schwingung. Die Zeitspanne, die das Federpendel für eine vollständige Schwingung benötigt beträgt 1,7 Sekunden. Gib die allgemeine Sinusfunktion s an, die der Zeit t in Sekunden die Aus- lenkung s(t) des Federpendels aus der Ruhelage in cm zuordnet. Wir nehmen an, dass s(0) = 0 ist. 993 Eine Holzfigur hängt auf einer Spiralfeder und schwingt auf und ab. Zum Zeitpunkt 0 s wird sie 20 cm über dem Boden an ihrem tiefsten Punkt losgelassen. Zum Zeitpunkt 1 s hat sie in 100 cm Höhe erstmals ihren höchsten Punkt erreicht. Gib die Funktion h an, die jedem Zeitpunkt t zuordnet, in welcher Höhe h sich die Figur gerade befindet und zeichne ihren Funktionsgraphen für die ersten 10 Sekunden. A, B eine Textaufgabe mit einer allgemeinen Sinusfunktion modellieren 1,2m s 0 t 1 2 4 6 5 3 1 2 - 2 -1 A, B A, B A, B Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv