Mathematik HTL 2, Schulbuch

214 Trigonometrie 985 Die Zeitpunkte des spätesten und des frühesten Sonnenuntergangs über Wien waren im Jahr 2011 der 26. Juni um 19:59 Uhr (MEZ) und der 12. Dezember um 16:00 Uhr. a. Finde eine Funktion SU mit SU(x) = A·sin( ω ·x + φ ) + d, mit der sich der Zeitpunkt des Sonnen- untergangs über Wien für den x-ten Tag des Jahres annähernd berechnen lässt. Wähle dabei die Zahlen A, ω , φ und d so, dass der Funktionswert von SU mit dem tatsächlichen Zeitpunkt des Sonnenuntergangs am 26. Juni übereinstimmt. b. Bestimme, um wie viel Minuten der Funktionswert der von dir gefundenen Funktion SU am 12. Dezember vom tatsächlichen Zeitpunkt abweicht. 986 Der „längste Tag“ des Jahres ist der 21. Juni, an dem die Sonne (in Innsbruck) 15:56 Stunden scheint. Der „kürzeste Tag“ ist der 21. Dezember mit 8:28 Stunden. a. Finde eine Funktion TL mit TL(x) = A·sin( ω ·x + φ ) + d, mit der sich die Tageslänge in Innsbruck für den x-ten Tag des Jahres annähernd berechnen lässt. Wähle dabei die Zahlen A, ω , φ und d so, dass der Funktionswert von TL mit der tatsächlichen Tageslänge am 21. Juni übereinstimmt. b. Berechne, um wie viele Minuten der Funktionswert der von dir gefundenen Funktion TL am 21. Dezember von der tatsächlichen Tageslänge abweicht. 987 Das Wiener Riesenrad war mit seinem Durchmesser von 60,95m (gemessen an den Gondel- aufhängungen) zum Zeitpunkt seiner Eröffnung 1897 das größte Riesenrad der Welt. Der höchste erreichbare Punkt liegt sogar 64,75m über dem Boden. Würde sich das Rad ohne Zwischenstopps drehen, bräuchte es für eine komplette Umdrehung 255 Sekunden. a. Skizziere den Graphen der Funktion, welche jedem Zeitpunkt t den Abstand (in Meter) der Aufhängung der Riesenradgondel vom Boden zuordnet. Wir nehmen dabei an, dass sich das Riesenrad ohne Aufenthalte mit konstanter Geschwindigkeit dreht und dass die Gondel zur Zeit 0 einen möglichst kleinen Abstand vom Boden hat. b. Untersuche, welcher Typ von Funktion sich zur Modellierung eignet. Finde dann mithilfe der Daten aus der Angabe eine solche Funktion f. c. Zeichne nun einen genaueren Graphen der Funktion. Vergleiche diesen mit der Skizze aus a. d. Bestimme, wie hoch die Gondel eine Minute nach Erreichen des tiefsten Punktes ist. e. Gib an, wie lange sich die Gondel im Laufe einer Umdrehung über einer Höhe von 60m befindet. 988 Im Jahr 2008 wurde in Singapore das damals höchste Riesenrad der Welt, der Singapore Flyer eröffnet. Er erreicht eine maximale Höhe von 165m bei einem Raddurchmesser von 150m. Ohne Pause braucht der Singapore Flyer 30min für eine volle Umdrehung. a. Skizziere einen Graphen einer Funktion, die jedem Zeitpunkt t den Abstand einer Gondel zum Boden in Metern zuordnet. Dabei dreht sich das Rad mit konstanter Geschwindigkeit. Nimm auch an, dass der Abstand zum Boden zum Zeitpunkt 0 minimal ist. b. Finde mithilfe der Angaben eine allgemeine Sinusfunktion, die den Sachverhalt aus Aufgabe a. modelliert. c. Zeichne einen genauen Graphen der Funktion. Stimmt der Graph mit der Skizze aus Aufgabe a. überein? Überarbeite gegebenenfalls dein Modell. d. Bestimme nun, wie hoch sich eine Gondel 7min nach Verlassen des tiefsten Punktes befindet. e. Ermittle, wie lange es dauert, bis sich die Gondel auf einer Höhe von 120m befindet. 989 Beim Stimmen eines Musikinstrumentes nach Gehör wird die Tonlage solange verändert, bis keine Schwebung mehr zu hören ist. a. Recherchiert, was Schwebung ist und erklärt, wie man eine Schwebung hören kann. b. Was hat Schwebung mit Funktionen zu tun? Erklärt den Zusammenhang. c. Erstellt ein Diagramm, um Schwebung besser zu erklären. A, B ggb 4va2fn A, B ggb 3x93iu A, B, C ggb ua8d93 A, B A, D ggb z422im Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv