Mathematik HTL 2, Schulbuch

213 6.2 Die Sinus-, Cosinus- und Tangensfunktion  Ein Jahr dauert 365 Tage. Genauer gesagt 365, 25 (Schaltjahr!). Die Periodenlänge ist daher 365,25 und ω = 2 π _ 365,25 .  Die Funktionswerte von SA sind an jenen Tagen am größten, an denen die Sonne am spätes- ten aufgeht. Nach einer Tabelle der ZAMG (Zentralanstalt für Meteorologie und Geodynamik) ist das am 1. Jänner um 7:45 Uhr, also 465 Minuten nach Mitternacht.  Um die Amplitude zu bestimmen, benötigen wir zum Vergleich noch den Zeitpunkt des frühesten Sonnenaufgangs: Dieser ist am 16. Juni um 3:53 Uhr MEZ, also 233 Minuten nach Mitternacht. (Achtung: Aufgrund der Sommerzeit, zeigen unsere Uhren bereits 4:53 Uhr an. In der Tabelle der ZAMG ist für den Sonnenaufgang daher 4:53 Uhr angegeben). Die Differenz des frühesten und spätesten Zeitpunkts für den Sonnenaufgang beträgt daher 232 Minuten. Die Amplitude der Sinusfunktion ist halb so groß, also A = 116.  Die Anfangsphase φ erhält man mit folgender Überlegung: Der größte Funktionswert der Funktion sin ist 1. Die kleinste positive Zahl t mit sin(t) = 1 ist π _ 2 . Der größte Funktionswert von SA ist 465. Die kleinste positive Zahl t mit S(t) = 465 ist 1. Es muss daher 2 π _ 365,25 ·1 + φ = π _ 2 sein. Umformen ergibt: φ = π _ 2 – 2 π _ 365,25 φ = π · 361,25 _ 730,5  Wir müssen nur noch d ermitteln. Wegen 465 = SA(1) = 116·1 + d muss d = 349 sein. Wenn also der tägliche Zeitpunkt des Sonnenaufgangs durch eine allgemeine Sinusfunktion beschreibbar ist, dann muss SA(x) = 116·sin 2 2 π _ 365,25 x + π · 361,25 _ 730,5 3 + 349 sein. Wir überprüfen unsere Hypothese, indem wir die Funktionswerte von SA an einigen Stellen mit den bekannten Daten vergleichen: Zum Beispiel ist der 16. Juni der 167. Tag im Jahr (wenn kein Schaltjahr ist). An diesem Tag geht die Sonne um 3:53 Uhr auf. Für SA(167) berechnen wir 237,71 Minuten nach Mitternacht, also ca. 3:58 Uhr. Dieser Funktionswert weicht nur 5 Minuten vom beobachteten Zeitpunkt ab. Vergleicht man für jeden Tag des Jahres den errechneten und den beobachteten Zeitpunkt des Sonnenaufgangs, so kommt man auf folgendes Diagramm: Der Zeitpunkt des Sonnenaufgangs lässt sich also recht genau durch eine allgemeine Sinusfunk- tion beschreiben. Für die dabei auftretenden Abweichungen gibt es mehrere Gründe. Die Erde umläuft die Sonne auf einer Ellipsenbahn, die keine Kreisbahn ist. Außerdem benötigt die Erde für eine vollständige Drehung um ihre Achse 23 Stunden und 56 Minuten. Link c2538e h Monat 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 5 4 3 2 1 0 6 7 8 9 10 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv