Mathematik HTL 2, Schulbuch

208 Trigonometrie Die allgemeine Sinusfunktion Eine Funktion R ¥ R , x ¦ A·sin( ω x + α ) mit vorgegebenen reellen Zahlen A, ω ≠ 0 und α nennen wir eine allgemeine Sinusfunktion . Einen Vorgang, der durch diese Funktion beschrieben werden kann, nennt man eine harmonische Schwingung mit Kreisfrequenz ω , Amplitude A und Anfangsphase α .  Wenn A = 1, ω = 1 und α = 0 ist, erhalten wir die Sinusfunktion.  Wenn A = 1, ω = 1 und α = π _ 2 ist, erhalten wir die Cosinusfunktion.  Wenn ω = 1 ist, dann ist der Graph von f mit f(x) = A·sin(x + α ) die Menge {(x 1 A·sin(x + α )) ‡ x * R }. Schreiben wir u für x + α , dann ist x = u – α und {(x 1 A·sin(x + α) ) ‡ x * R } = {(u – α 1 A·sin(u)) ‡ u * R } = {(‒ α 1 0) + (u 1 A·sin(u)) ‡ u * R } = {(‒ α 1 0) + (u 1 v) ‡ (u 1 v) * Graph(x ¦ A·sin(x))}. Um den Graphen von f mit f(x) = A·sin(x + α ) zu zeichnen, müssen wir nur den Graphen des A-Fachen der Sinusfunktion um ‒ α Einheiten entlang der ersten Koordinatenachse verschieben. Nachdem die Funktionswerte der Sinusfunktion zwischen ‒1 und 1 liegen, befinden sich die von f alle zwischen ‒A und A. Die Sinusfunktion ist 2 π -periodisch, das heißt, für alle x ist sin(x + 2 π ) = sin(x). Ist die Funktion f mit f(x) = A·sin( ω x + α ) auch periodisch? Es ist A·sin 2 ω 2 x + 2 π _ ω 3 + α 3 = A·sin( ω x + 2 π + α ) = A·sin( ω x + α ), also: Die Funktion f mit f(x) = A·sin( ω x + α ) ist 2 π _ ω -periodisch. Beispiele:  Die Funktion f mit f(x) = sin(2 π x) ist 1-periodisch, das heißt, für alle ganzen Zahlen n und alle reellen Zahlen x ist sin(2 π (x + n)) = sin(2 π x).  Die Funktion f mit f(x) = sin(2x) ist π -periodisch, das heißt, für alle reellen Zahlen x ist sin(2(x + π )) = sin(2x).  Die Funktion f mit f(x) = sin 2 1 _ 2 x 3 ist 4 π -periodisch, das heißt, alle reellen Zahlen x ist sin 2 1 _ 2 (x + 4 π ) 3 = sin 2 1 _ 2 x 3 . allgemeine Sinusfunktion harmonische Schwingung, Kreisfrequenz, Amplitude, Anfangsphase 1 -1 -1 1 0 x y Ă 2 Ă 2 3 Ă 2 Ă 2 Ă - 2 - 2 - ó Graph einer allgemeinen Sinusfunktion ggb p3r8nx 1 -1 0 x y Ă 4 Ă 2 3 Ă 2 Ă Ă 4 - 1 -1 + 1 1 -1 0 x y Ă 4 Ă 2 3 Ă 2 Ă + Ă Ă 4 - 1 -1 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv