Mathematik HTL 2, Schulbuch

207 6.2 Die Sinus-, Cosinus- und Tangensfunktion 968 Überprüfe die Behauptung mithilfe der Summensätze für Sinus und Cosinus. a. Für alle reellen Zahlen α , β ist sin( α – β ) = sin( α )·cos( β ) – cos( α )·sin( β ). b. Für alle reellen Zahlen α ist cos(2 α ) = cos 2 ( α ) – sin 2 ( α ) = 2cos 2 ( α ) – 1. c. Für alle reellen Zahlen α ist sin(2 α ) = 2sin( α )·cos( α ). 969 Überprüfe die Behauptung mithilfe der Summensätze für Sinus und Cosinus. a. Für alle reellen Zahlen α , β ist tan( α + β ) = tan( α ) + tan( β ) _ 1 – tan( α )·tan( β ) . b. Für alle reellen Zahlen α , β ist tan( α – β ) = tan( α ) – tan( β ) _ 1 + tan( α )·tan( β ) . c. Für alle reellen Zahlen α ist tan(2 α ) = 2tan( α ) __ 1 – tan 2 ( α ) . 970 Argumentiere mithilfe einer Skizze des Einheitskreises oder mithilfe der Summensätze, dass die Behauptung richtig ist. a. Für alle β ist cos(‒ β ) = cos( β ). b. Für alle γ ist cos(90° – γ ) = sin( γ ). c. Für alle α ist sin( α + 180°) = ‒ sin( α ). Polstellen von Funktionen Die Tangensfunktion ist in allen Stellen des Intervalls [0; π ] mit einer Ausnahme, nämlich π _ 2 , definiert. Für alle Zahlen z, die sehr nahe bei π _ 2 liegen, ist † tan(z) † , der Betrag des Funktionswertes von Tangens an der Stelle z, sehr groß. Wir sagen, dass π _ 2 eine Polstelle der Funktion Tangens ist. Wir betrachten eine Funktion f von einer Teilmenge M von R nach R . Wir nennen eine reelle Zahl z Polstelle von f, wenn  sie nicht im Definitionsbereich von f enthalten ist,  es aber Zahlen a, b mit a < z < b gibt, sodass alle Elemente des Intervalls (a; b) mit Ausnahme von z im Definitionsbereich von f enthalten sind und  der Betrag der Funktionswerte an Stellen „in der Nähe von z“ beliebig groß wird. Beispiele:  Die Polstellen von f mit f(x) = 1 _ sin(x) sind die Zahlen k π , wobei k eine beliebige ganze Zahl ist.  Die rationale Funktion f mit f(x) = 1 _ x hat nur eine Polstelle, nämlich 0. 971 Bestimme alle Polstellen der Tangensfunktion. 972 Bestimme die Polstellen der rationalen Funktionen r. Skizziere die Graphen dieser Funktionen. a. r(x) = 1 _ x 2 b. r(x) = x + 1 __ (x – 2)(x – 3) c. r(x) = 2x – 1 __ x 2 – 3x + 2 d. r(x) = x ___ (x – 1)(x – 2)(x – 3) 973 Für welche der Funktionen f ist 1 eine Polstelle? A f(x) = 1 _ x 2 – 1 B f(x) = x – 1 _ x 2 – 1 C f(t) = tan(t) D f mit f(t) = tan 2 3 π t _ 2 3 974 Zeichne mit einer DGS die Graphen der Funktionen f mit f(x) = 1 _ a·sin(x) und g mit g(x) = 1 _ a·cos(x) . Wähle dabei a = 0,01, a = 1 und a = 100. Beschreibe, was diese Graphen gemeinsam haben und wodurch sie sich unterscheiden. Dokumentiere deine Beobachtungen. D D D x y 1 Ă Ă 2 0 Polstelle B B B B, C, D Nur zu Prüfzw cken – Eigentum des Verlags öbv