Mathematik HTL 2, Schulbuch

206 Trigonometrie 963 Berechne alle Winkel im angegebenen Intervall, die den angegebenen Winkelfunktionswert haben. a. sin( α ) = 0,763, α * [0; 2 π ] c. tan( γ ) = 4,766, γ * [‒ 2 π ; 0] e. tan( ε ) = ‒ 2,109, ε * [‒ 8 π ; ‒ 6p] b. cos( β ) = 0,398, β * [0; 2 π ] d. cos( δ ) = ‒ 0,311, δ * [4 π ; 6 π ] f. sin( φ ) = ‒ 0,884, φ * [10 π ; 12 π ] 964 Finde zu jeder Zahl in der linken Spalte die gleiche Zahl in der rechten Spalte. a. c. b. d. 965 Beschreibe, für welche Winkel α gilt: sin( α ) = cos( α ). Überlege mithilfe einer Zeichnung. 966 Begründe, für welche Winkel α gilt: sin( α ) = 2·cos( α ). Verwende dazu cos( α ) 2 + sin( α ) 2 = 1. Summensätze Wir betrachten am Einheitskreis die Punkte P = (cos( α ) 1 sin( α )) und Q = (cos(‒ β ) 1 sin(‒ β )) = (cos( β ) 1 ‒ sin( β )). Der Winkel von Q nach P ist dann α + β . Wir nehmen der Einfachheit halber an, dass α + β < π ist. Dann ist cos( α + β ) = P·Q __ u P u · u Q u = P·Q _ 1·1 = P·Q = = (cos( α ) 1 sin( α ))·(cos( β ) 1 ‒ sin( β )) = = cos( α )cos( β ) – sin( α )sin( β ). Das gilt auch ohne die Voraussetzung α + β < π . Wegen sin( α + β ) = cos 2 α + β + π _ 2 3 = cos 2 α + 2 β + π _ 2 3 3 folgt daher sin( α + β ) = cos 2 α + 2 β + π _ 2 3 3 = cos( α )·cos 2 β + π _ 2 3 – sin( α )·sin 2 β + π _ 2 3 = = cos( α )·sin( β ) – sin( α )·(‒ cos( β )) = cos( α )·sin( β ) + sin( α )·cos( β ). Wir haben damit die Summensätze für Sinus und Cosinus bewiesen: Für alle reellen Zahlen α , β gilt: cos( α + β ) = cos( α )·cos( β ) – sin( α )·sin( β ) sin( α + β ) = sin( α )·cos( β ) + cos( α )·sin( β ) 967 Zeige mithilfe des Summensatzes für den Cosinus: Für alle reellen Zahlen α , β ist cos( α – β ) = cos( α )·cos( β ) + sin( α )·sin( β ). Es ist cos( α – β ) = cos( α + (‒ β )) = cos( α )·cos(‒ β ) – sin( α )·sin(‒ β ) = = cos( α )·cos( β ) + sin( α )·sin( β ). Dabei haben wir verwendet, dass cos(‒ β ) = cos( β ) und sin(‒ β ) = ‒ sin( β ) ist. B B A sin(45°) I cos(330°) A tan(25°) I cos(35°) B cos(30°) II sin(150°) B sin(35°) II cos(‒ 55°) C sin(75°) III cos(45°) C cos(75°) III tan(205°) D sin(30°) IV sin(‒ 30°) D tan(155°) IV sin(165°) E sin(210°) V cos(15°) E sin(55°) V tan(‒ 25°) A sin 2 π _ 2 3 I cos 2 π _ 2 3 A tan 2 π _ 3 3 I sin 2 ‒ π _ 6 3 B cos 2 π _ 4 3 II cos(2 π ) B sin 2 π _ 3 3 II cos 2 π _ 3 3 C sin(2 π ) III tan(3 π ) C cos 2 2 π _ 3 3 III tan 2 4 π _ 3 3 D tan 2 π _ 4 3 IV sin 2 3 π _ 4 3 D tan 2 2 π _ 3 3 IV tan 2 ‒ π _ 3 3 E tan(2 π ) V tan 2 ‒ 3 π _ 4 3 E sin 2 π _ 6 3 V cos 2 ‒ π _ 6 3 C D ó Q P (1 1 0) y x (0 1 1) ô Summensätze B Summensätze anwenden Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv