Mathematik HTL 2, Schulbuch

205 6.2 Die Sinus-, Cosinus- und Tangensfunktion Einige Eigenschaften von Winkelfunktionen Der Winkel von P = (cos( α ) 1 sin( α )) nach Q = 2 cos 2 α + π _ 2 3 1 sin 2 α + π _ 2 3 3 ist π _ 2 , also stehen P und Q aufeinander normal. Nach Abschnitt 5.2 muss Q daher ein Vielfaches von (‒ sin( α ) 1 cos( α )) sein. Weil der Abstand von Q zu (0 1 0) gleich 1 ist, kann Q daher nur (‒ sin( α ) 1 cos( α )) oder ‒ (‒ sin( α ) 1 cos( α )) = (sin( α ) 1 ‒ cos( α )) sein. Im Bild liest man leicht ab, dass cos( α ) und sin 2 α + π _ 2 3 immer das gleiche Vorzeichen haben. Daher ist Q = (‒ sin( α ) 1 cos( α )). Damit haben wir gezeigt: cos 2 α + π _ 2 3 = ‒ sin( α ) und sin 2 α + π _ 2 3 = cos( α ) Daraus folgt: cos( α + π ) = cos 2 2 α + π _ 2 3 + π _ 2 3 = ‒ sin 2 α + π _ 2 3 = ‒ cos( α ) , sin( α + π ) = sin 2 2 α + π _ 2 3 + π _ 2 3 = cos 2 α + π _ 2 3 = ‒ sin( α ) , cos 2 α – π _ 2 3 = sin( α ) und sin 2 α – π _ 2 3 = ‒ cos( α ) Für alle α ist tan( α + π ) = tan( α ) , also ist die Tangensfunktion π -periodisch. 960 Gib den gegebenen Funktionswert als Funktionswert eines anderen Winkels bezüglich derselben Winkelfunktion an. a. sin(96°) b. tan 2 π _ 4 3 c. cos(320°) a. Es ist sin(180° + α ) = ‒ sin( α ) und sin(‒ α ) = ‒ sin( α ), daher ist sin(180° – α ) = ‒ sin(‒ α ) = sin( α ). Also ist sin(96°) = sin(180° – 96°) = sin(84°). b. Es ist tan( π + α ) = tan( α ), also tan 2 π _ 4 3 = tan 2 3 π _ 4 3 . c. Es ist cos(2 π – α ) = cos( α ). Also ist cos(320°) = cos(360° – 320°) = cos(40°). 961 Gib den gegebenen Funktionswert als Funktionswert eines anderen Winkels bezüglich derselben Winkelfunktion an. a. sin(128°) = d. sin(360°) = g. cos(110°) = j. tan(213°) = b. sin(217°) = e. cos(96°) = h. cos(292°) = k. tan(265°) = c. sin(315°) = f. cos(196°) = i. tan(112°) = l. tan(342°) = 962 Gib den gegebenen Funktionswert als Funktionswert eines anderen Winkels bezüglich derselben Winkelfunktion an. a. sin 2 3 π _ 2 3 = d. sin 2 ‒ 3 π _ 2 3 = g. cos 2 ‒ 3 π _ 2 3 = j. tan(2 π ) = b. sin(2 π ) = e. cos( π ) = h. cos 2 ‒ 3 π _ 4 3 = k. tan(‒ 3 π ) = c. sin 2 2 π _ 3 3 = f. cos 2 2 π _ 3 3 = i. tan 2 ‒ 3 π _ 4 3 = l. tan 2 2 π _ 3 3 = y x Q P (0 1 1) (1 1 0) ó ó + Ă 2 ggb 24i22r Eigenschaften von Sinus, Cosinus und Tangens B Winkel mit gleichen Funktions- werten einer Winkelfunktion berechnen B B Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv