Mathematik HTL 2, Schulbuch

201 6.2 Die Sinus-, Cosinus- und Tangensfunktion Die Nullstellen der Sinusfunktion im Intervall [0; 2 π ) sind 0 und π , also ist {k π‡ k * Z } die Menge aller Nullstellen der Sinusfunktion. Die Nullstellen der Cosinusfunktion im Intervall [0; 2 π ) sind π _ 2 und 3 π _ 2 , also ist { π _ 2 + k π † k * Z } die Menge aller Nullstellen der Cosinusfunktion. Die Sinusfunktion ist im Intervall 4 ‒ π _ 2 ; π _ 2 5 monoton wachsend, und im Intervall 4 π _ 2 ; 3 π _ 2 5 monoton fallend. Sie ist eine ungerade Funktion , das heißt, für alle reellen Zahlen α ist sin(‒ α ) = ‒ sin( α ) . Die Cosinusfunktion ist im Intervall [0; π ] monoton fallend und im Intervall [ π ; 2 π ] monoton wachsend. Sie ist eine gerade Funktion , das heißt, für alle reellen Zahlen α ist cos(‒ α ) = cos( α ) . Die Graphen der Cosinusfunktion und der Sinusfunktion sehen so aus: Cosinus: Sinus: Für reelle Zahlen α , die nicht Nullstellen der Cosinusfunktion sind, definieren wir den Tangens von α durch tan( α ) = sin( α ) _ cos( α ) und nennen die Funktion tan: R \ { π _ 2 + k π † k * Z } ¥ R , α ¦ tan( α ), Tangensfunktion oder einfach Tangens . Aus der Definition folgt:  tan(0) = 0 tan 2 π _ 4 3 = 1 tan 2 ‒ π _ 4 3 = ‒1  Für alle α ist tan(‒ α ) = ‒ tan( α ) , also ist die Tangensfunktion eine ungerade Funktion. Durch Abmessen können wir tan( α ) so bestimmen: Wir zeichnen den Punkt P = (cos( α ) 1 sin( α )) auf dem Einheits- kreis ein und dann die Gerade durch (0 1 0) und P. Den Punkt 1 _ cos( α ) ·P = (1 1 tan( α )) erhalten wir als Schnittpunkt dieser Geraden mit der Geraden durch (1 1 0), die zur zweiten Koordinatenachse parallel ist. Die Zahl tan( α ) ist dann der Abstand von 1 _ cos( α ) ·P zur ersten Koordinatenachse. Damit sehen wir: Die Tangensfunktion ist im Intervall 2 ‒ π _ 2 ; π _ 2 3 monoton wachsend. Nullstellen der Sinus- und Cosinusfunktion Sinus ist eine ungerade Funktion Cosinus ist eine gerade Funktion ggb is6m6v x y 0 -1 1 Ă 2 3 Ă 2 Ă 2 Ă x y Ă 2 3 Ă 2 Ă 2 Ă -1 1 0 Tangens- funktion ó (1 1 0) (1 1 tan( ó )) P y x Monotonie von Tangens Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv