Mathematik HTL 2, Schulbuch

200 Trigonometrie Sinus-, Cosinus- und Tangensfunktion Wir wählen ein rechtwinkeliges Koordinatensystem und einen Punkt (x 1 y) auf dem Einheitskreis um (0 1 0). Wenn y º 0 ist, dann ist die Länge α des Kreisbogens von (1 1 0) nach (x 1 y) kleiner oder gleich π . Daher ist x = cos( α ) und y = sin( α ). Wenn y < 0 ist, dann ist die Länge α des Kreisbogens von (1 1 0) nach (x 1 y) größer als π . Für diesen Fall haben wir cos( α ) und sin( α ) noch nicht definiert. Das machen wir jetzt: P sei der eindeutig bestimmte Punkt auf dem Einheitskreis so, dass der Winkel von (1 1 0) nach P gleich α ist. Dann definieren wir cos( α ) bzw. sin( α ) als die erste bzw. zweite Koordinate von P. Also: P = (cos( α ) 1 sin( α )) . Für 0 ª α ª π stimmt diese Definition von cos( α ) und sin( α ) mit der schon bekannten überein. Aus diesem Bild können wir unmittelbar die folgenden Eigenschaften von cos( α ) und sin( α ), für jede Zahl α im Intervall [0; 2 π ], ablesen:  cos( α ) 2 + sin( α ) 2 = 1 , weil P = (cos( α ), sin( α )) auf dem Einheitskreis liegt.  ‒1 ª cos( α ) ª 1 ‒1 ª sin( α ) ª 1  cos(0) = 1 , cos 2 π _ 2 3 = 0 , cos( π ) = ‒1 , cos 2 3 π _ 2 3 = 0 , cos(2 π ) = 1  sin(0) = 0 , sin 2 π _ 2 3 = 1 , sin( π ) = 0 , sin 2 3 π _ 2 3 = ‒1 , sin(2 π ) = 0  cos(2 π – α ) = cos( α ) , sin(2 π – α ) = ‒ sin( α ) Zu jeder reellen Zahl α gibt es eine eindeutig bestimmte ganze Zahl k und eine eindeutig bestimmte reelle Zahl α ’ im Intervall [0; 2 π ) so, dass α = k·(2 π ) + α ’ ist. Wir ermitteln α ’ für eine positive bzw. negative Zahl, indem wir 2 π so oft von α subtrahieren bzw. zu α addieren, bis die Differenz bzw. Summe im Intervall [0; 2 π ) liegt. Wir definieren dann cos( α ) = cos( α ’) und sin( α ) = sin( α ’). Wir nennen die Funktion cos: R ¥ R , α ¦ cos( α ) Cosinusfunktion oder einfach Cosinus und die Funktion sin: R ¥ R , α ¦ sin( α ) Sinusfunktion oder einfach Sinus . Nach Definition sind Cosinus und Sinus 2 π -periodische Funktionen , das heißt: Für alle Zahlen α ist cos( α + 2 π ) = cos( α ) und sin( α + 2 π ) = sin( α ) . Es genügt also, die Einschränkung dieser Funktionen auf das Intervall [0; 2 π ) zu kennen. ggb is6m6v ó (1 1 0) P = ( cos( ó ) 1 sin( ó ) ) y x (0 1 0) cos( α ) und sin( α ) für 0 ª α < 2 π ó ó (1 1 0) P = ( cos( ó ) 1 sin( ó ) ) P’ = ( cos(2 Ă – ó ) 1 sin(2 Ă – ó ) ) y x (0 1 0) 2 Ă – ó Eigenschaften von Cosinus und Sinus Cosinusfunktion Sinusfunktion 2 π -periodisch Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv