Mathematik HTL 2, Schulbuch

194 Trigonometrie 903 Zwei Kräfte _ À F 1 und _ À F 2 greifen im selben Punkt an und schließen einen Winkel α ein. Ihre Beträge sind bekannt. Berechne den Betrag der Resultierenden sowie die Winkel, die die Kräfte _ À F 1 und _ À F 2 mit der Resultierenden einschließen. Wir können diese Aufgabe auf zwei Arten (ohne oder mit Koordinatensystem) lösen: 1. Wir betrachten das Dreieck mit den Eckpunkten Angriffspunkt der Kräfte, Spitze von _ À F 1 und Spitze von _ À F R . Der Winkel bei der Spitze von _ À F 1 ist 180° – α . Mit dem Cosinussatz erhalten wir † _ À F R † 2 = † _ À F 1 † 2 + † _ À F 2 † 2 – 2 † _ À F 1 † · † _ À F 2 † cos(180° – α ) = = † _ À F 1 † 2 + † _ À F 2 † 2 + 2 † _ À F 1 † · † _ À F 2 † cos( α ). Dann kennen wir † _ À F R † und können, wiederum mit dem Cosinussatz, den Cosinus der Winkel zwischen den zwei Kräften und der Resultierenden berechnen. 2. Wir wählen ein rechtwinkeliges Koordinatensystem so, dass der Angriffspunkt gleich (0 1 0) und das Koordinatenpaar der Kraft _ À F 1 gleich ( † _ À F 1 † 1 0) ist. Dann ist das Koordinatenpaar von _ À F 2 gleich † _ À F 2 † (cos( α ) 1 sin( α )) und das von _ À F R = _ À F 1 + F 2 gleich ( † _ À F 1 † , 0) + † _ À F 2 † (cos( α ) 1 sin( α )) = ( † _ À F 1 † + † _ À F 2 † ·cos( α ) 1 † _ À F 2 † ·sin( α )). Das Quadrat des Betrags von F R ist daher † _ À F R † 2 = † _ À F 1 † 2 + 2cos( α )· † _ À F 1 † · † _ À F 2 † + † _ À F 2 † 2 cos( α ) 2 + † _ À F 2 † 2 ·sin( α ) 2 = † _ À F 1 † 2 + † _ À F 2 † 2 + 2 † _ À F 1 † · † _ À F 2 † cos( α ). Der Cosinus des Winkels zwischen F 1 und F R ist dann einfach _ À F R ·(1 1 0) __ † _ À F R † = † _ À F 1 † + † _ À F 2 † cos( α ) __ † _ À F R † . 904 Zerlege die Kraft _ À F mit Betrag 145N entlang der gezeichneten Wirkungslinien (Skizze rechts). Gib den Betrag dieser Kräfte an. 905 Zwei Kräfte _ À F 1 und _ À F 2 greifen im selben Punkt an und schließen den Winkel α ein. Ihre Beträge sind bekannt. Berechne den Betrag der Resultierenden sowie die Winkel, die die Kräfte _ À F 1 und _ À F 2 mit der Resultierenden einschließen. a. † _ À F 1 † = 20N † _ À F 2 † = 40N α = 35° b. † _ À F 1 † = 35N † _ À F 2 † = 40N α = 60° c. † _ À F 1 † = 0,6 kN † _ À F 2 † = 1,2 kN α = 80° d. † _ À F 1 † = 1,4 kN † _ À F 2 † = 1,8 kN α = 75° e. † _ À F 1 † = 105N † _ À F 2 † = 130N α = 25° f. † _ À F 1 † = 7,20 kN † _ À F 2 † = 4,50 kN α = 50° 906 Drei Kräfte _ À F 1 , _ À F 2 und _ À F 3 greifen im gleichen Punkt an und halten einander das Gleichgewicht, das heißt: _ À F 3 = ‒ ( _ À F 1 + F 2 ). Bestimme die Winkel, die die Kräfte einschließen. a. † _ À F 1 † = 440N † _ À F 2 † = 320N † _ À F 3 † = 510N b. † _ À F 1 † = 30N † _ À F 2 † = 45N † _ À F 3 † = 70N c. † _ À F 1 † = 1,8 kN † _ À F 2 † = 0,8 kN † _ À F 3 † = 1,5 kN d. † _ À F 1 † = 5,2 kN † _ À F 2 † = 4,8 kN † _ À F 3 † = 3,7kN 907 Eine Last L = 520N ist an einem Seil befestigt (siehe Skizze). Die Winkel betragen α = 15,8° und β = 23,9°. Berechne die Beträge der Kräfte, die in den zwei Seilstücken auftreten. 908 Zwei Kräfte mit 55N und 85N greifen in einem Punkt unter einem Winkel von 42° an. Ermittle den Betrag der Resultierenden und die Winkel, die die Resultierende mit den Kräften einschließt. B Betrag der Resultierenden zweier Kräfte und den eingeschlossenen Winkel berechnen ggb 85hx2y F 2 180 – ó F 1 F R ó B F 45° 20° B F 2 F 1 F R ó 2 ó 1 ó B F 1 F 2 F 3 ó 13 ó 12 ó 23 B ó + ô 90 – ó 90 – ô F 1 F 1 F 2 F 2 ó ô L L B Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv