Mathematik HTL 2, Schulbuch

193 6.1 Dreiecke 901 Berechne die fehlende Seitenlängen, Winkel und Diagonalenlängen sowie die Fläche des Parallelogramms. a. a = 30 cm b = 16 cm e = 43,24 cm e. a = 23,48 cm f = 19,10 cm α = 54,37° b. a = 47cm b = 50 cm f = 63,68 cm f. a = 30,81mm e = 42,62mm α = 72,29° c. a = 67cm b = 76 cm α = 79° g. b = 52,10mm f = 53,53mm α = 28,74° d. a = 67cm b = 36 cm α = 34° h. b = 60,83 cm e = 118,49 cm α = 73,75° 902 Ermittle die fehlenden Seitenlängen, Winkel und Diagonalenlängen sowie die Fläche des Trapezes. a. a = 5 cm c = 12 cm e = 15,95 cm α = 76° b. a = 98mm b = 65,50mm e = 101,74mm α = 53° c. a = 37,72 cm d = 48,04 cm f = 54,68 cm β = 69,39° d. b = 26,68mm c = 46,41mm d = 2,61mm α = 32° Anwendungen in der Mechanik Wir wenden unsere Kenntnisse aus der Trigonometrie nun an, um Aufgaben aus der Mechanik zu lösen. Wir betrachten Kräfte in einer Ebene, die alle in einem gegebenen Punkt angreifen. Wir wählen ein rechtwinkeliges Koordinatensystem so, dass dieser Punkt der Nullpunkt ist. Die Kräfte werden dann durch Ortsvektoren, die wir zeichnerisch durch Pfeile mit Schaft (0 1 0) und Spitze (a 1 b) darstellen, beschrieben. Wir nennen dann (a 1 b) das Koordinatenpaar dieser Kraft. Aus der Mechanik ist bekannt: Wenn zwei Kräfte _ À F 1 und _ À F 2 mit den Koordinatenpaaren (a 1 1 b 1 ) und (a 2 1 b 2 ) zugleich wirken, dann beobachten wir dieselbe Wirkung, wie wenn nur eine einzige Kraft wirkt. Diese Kraft heißt die Resultierende von _ À F 1 und _ À F 2 und wird mit _ À F 1 + F 2 bezeichnet. Deren Koordinatenpaar ist die Summe der Koordinatenpaare von _ À F 1 und _ À F 2 . Weiters kann man Kräfte auch mit reellen Zahlen multiplizieren, das Koordinatenpaar von c· _ À F 1 ist c·(a 1 1 b 1 ). Mit den Kräften mit Angriffspunkt (0 1 0) kann man rechnen wie mit ihren Koordinatenpaaren. Wir werden daher im Folgenden oft nicht zwischen den Koordinatenpaaren der Kräfte und den Kräften selbst unterscheiden. Der Betrag der Kraft F ist die Norm ihres Koordinatenpaares, also die Länge der Strecke zwischen der Spitze und dem Schaft von _ À F, wir bezeichnen sie mit † _ À F † . Wenn g und h zwei verschiedene Geraden durch (0 1 0) und _ À F eine Kraft mit dem Koordinatenpaar (a 1 b) ist, dann gibt es eindeutig bestimmte Punkte (a g 1 b g ) auf g und (a h 1 b h ) auf h so, dass (a 1 b) = (a g 1 b g ) + (a h 1 b h ) ist. Wenn _ À F g und _ À F h die entsprechenden Kräfte sind, dann ist F die Resultierende von F g und F h . Man sagt, man zerlegt _ À F entlang der Wirkungslinien g und h , wenn man _ À F g und _ À F h berechnet. Diese Aufgabe kann durch ein System von zwei linearen Gleichungen mit zwei Unbekannten beschrieben werden. Wenn zum Beispiel g = {t·(1 1 2) ‡ t * R }, h = {t·(‒1 1 1) ‡ t * R } und das Koordinatenpaar von _ À F gleich (1 1 0) ist, dann müssen Zahlen u und v so gefunden werden, dass (1 1 0) = u·(1 1 2) + v·(‒1 1 1) ist. Die Koordinatenpaare der gesuchten Kräfte _ À F g und _ À F h sind dann u·(1 1 2) und v·(‒1 1 1). Die Zahlen u und v haben die Eigenschaften 1 = u – v und 0 = 2u + v. Daher ist u = 1 _ 3 und v = ‒ 2 _ 3 . B B Resultierende Betrag einer Kraft 0 x y h g F = (a 1 b) F h = (a h 1 b h ) F g = (a g 1 b g ) eine Kraft entlang einer Wirkungslinie zerlegen Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv