Mathematik HTL 2, Schulbuch

187 6.1 Dreiecke In Worten heißt diese trigonometrische Flächenformel für Dreiecke: Die Fläche eines Dreiecks ist die Hälfte des Produktes zweier Seitenlängen mal dem Sinus des eingeschlossenen Winkels. Die Fläche des Dreiecks ¶ ABC ist also 1 _ 2 c·b·sin( α ) = 1 _ 2 a·b·sin( γ ) = 1 _ 2 a·c·sin( β ). Nach Division durch 1 _ 2 a·b·c erhalten wir daraus sin( α ) _ a = sin( γ ) _ c = sin( β ) _ b . Wir haben damit den Sinussatz bewiesen: Der Quotient Sinus eines Winkels _____ Länge der gegenüberliegenden Seite ist für alle Winkel im Dreieck gleich. Kurz: sin( α ) _ a = sin( β ) _ b = sin( γ ) _ c Im vorangegangenen Kapitel haben wir den Cosinussatz kennengelernt, mit den Bezeichnungen von oben besagt er: a 2 = b 2 + c 2 – 2·b·c·cos( α ) b 2 = a 2 + c 2 – 2·a·c·cos( β ) c 2 = a 2 + b 2 – 2·a·b·cos( γ ) Das Quadrat einer Seite ist gleich der Summe der Quadrate der beiden anderen Seiten abzüglich des doppelten Produkts der beiden anderen Seiten und dem Cosinus des von diesen Seiten eingeschlossenen Winkels. 879 Gib den Sinus- und Cosinussatz für das Dreieck mit den angegebenen Bezeichnungen an. a. b. c. 880 Untersuche, welche der Behauptungen für das skizzierte Dreieck richtig sind. t s u ó ô õ A sin( α ) = u _ t B t _ sin( α ) = s _ sin( γ ) C u _ sin( α ) = t _ sin( β ) D sin( α ) _ u = sin( γ ) _ s E cos( β ) = s _ t F t 2 = s 2 + u 2 G u 2 = t 2 + s 2 – 2ts·cos( α ) H u 2 = t 2 + s 2 – 2ts·cos( β ) I s 2 = u 2 + s 2 + 2us·cos( β ) 881 Welche der Aussagen sind für jedes Dreieck richtig? Begründe. A Die Summe der Quadrate der Längen der Katheten ist gleich dem Quadrat der Länge der Hypotenuse. B Das Produkt aus Sinus eines Winkels und der Länge der gegenüberliegenden Seite ist für alle Winkel im Dreieck gleich. C Der Cosinussatz gilt nur in spitzwinkeligen Dreiecken. D In einem rechtwinkeligen Dreieck sind der Satz des Pythagoras und der Cosinussatz für den rechten Winkel gleich. E Wenn der Sinussatz gilt, dann gilt der Cosinussatz nicht. 882 Zeichne ein Dreieck mit einer DGS. Benenne die Punkte, Seiten und Winkel in der üblichen Weise. Berechne dann die Quotienten a _ sin( α ) , b _ sin( β ) und c _ sin( γ ) . Verschiebe nun die Eckpunkte des Dreiecks beliebig und achte darauf, wie sich die Quotienten verändern. Dokumentiere deine Beobachtungen. Sinussatz Cosinussatz A õ ÷ ö z y x þ ö ÷ b a c ô ó õ m l k D D B, C ggb g3c9n8 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv