Mathematik HTL 2, Schulbuch

186 6.1 Dreiecke Ich lerne zu begründen, warum ich zum Lösen einer Aufgabe mit Dreiecken den Sinus- oder den Cosinussatz verwende. Ich lerne geometrische Aufgaben mit dem Sinus- oder dem Cosinussatz zu lösen. Ich lerne Anwendungsaufgaben mithilfe des Sinus- oder des Cosinussatzes zu lösen. Sinussatz Zwei Dreiecke auf einem Zeichenblatt sind genau dann kongruent , wenn wir sie nicht mehr unterscheiden können, nachdem wir sie aus dem Zeichenblatt ausgeschnitten und übereinandergelegt haben. Zum Beispiel sind das Dreieck mit den Eckpunkten (0 1 0), (2 1 0) und (1 1 1) (wir haben auf dem Zeichenblatt ein rechtwinkeliges Koordinatensystem gewählt) und das Dreieck mit den Eckpunk- ten (2 1 3), (3 1 2) und (3 1 4) kongruent. Bitte schneide die zwei Dreiecke nicht aus diesem Blatt aus! Es gibt eine andere, bücherschonende Methode, um nachzu- prüfen, ob zwei Dreiecke kongruent sind oder nicht: Wenn die Seitenlängen zweier Dreiecke (bis auf die Reihenfolge) gleich sind, dann sind diese Dreiecke kongruent. Die Seitenlängen der beiden Dreiecke sind 2, 9 _ 2, 9 _ 2 bzw. 9 _ 2, 2, 9 _ 2 also sind die Dreiecke kongruent. Kongruente Dreiecke haben viele gemeinsame Eigenschaften, zum Beispiel sind ihre Seiten (bis auf die Reihenfolge) gleich, ihre Winkel (bis auf die Reihenfolge) gleich, ihre Höhen (bis auf die Reihenfolge) gleich, ihre Flächen gleich und ihr Umfang gleich. Wenn wir nur an diesen Eigen- schaften eines Dreiecks interessiert sind, fassen wir kongruente Dreiecke als gleich auf. Wir sagen dann „das Dreieck mit den Seitenlängen a, b, c“ anstatt „ein Dreieck mit den Seitenlängen a, b, c“. Wir werden die Eckpunkte eines Dreiecks zumeist mit A , B , C bezeichnen, die Längen der diesen gegenüberliegenden Seiten mit a , b , c und die Winkel bei diesen Eckpunkten mit α , β , γ . Mit h a , h b , h c bezeichnen wir die Höhen in A, B, C, das ist der Abstand zwischen den Eckpunkten A, B, C und der Geraden durch die anderen zwei Eckpunkte. Ohne es im Weiteren immer zu erwähnen, nehmen wir an, dass die Höhen und Seitenlängen alle von 0 verschieden sind. Mit H C bezeichnen wir den Schnittpunkt der Geraden durch C, die normal zur Geraden durch A und B steht, mit der Geraden durch A und B. Das Dreieck ¶ AH C C hat einen rechten Winkel bei H C , daher ist die Länge der Strecke H C B gleich a·cos( β ) und h c , die Länge der Strecke H C C, ist gleich a·sin( β ). Die Fläche des Dreiecks ¶ ABC ist 1 _ 2 c·h c . Daraus folgt: Die Fläche des Dreiecks ist c · h c _ 2 = c·a·sin( β ) __ 2 Wir hätten uns dasselbe auch für die Eckpunkte B und C statt A überlegen können und dann für die Fläche a·h a _ 2 = a·b·sin( γ ) __ 2 und b·h b _ 2 = b·c·sin( α ) __ 2 erhalten. ggb dn48su kongruent x y 0 3 4 2 1 3 2 1 4 ggb 2g5258 ô õ ó B A b a h c h b h a c C Bezeichnung von Dreiecken ô ó B A b a h C H C c C trigonometrische Flächenformel Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv